多项式的因式分解的方法
重庆师范大学涉外商贸学院 数学与应用数学 2009级 王康森
指导老师 孟开成
摘要：数学思想有很多，因式分解的方法也有不少，看似不相干的两个数学问题又是如何放在一起并同时发光发热；这里利用部分因式分解的方法来深入了解常见的数学思想；
关键词： 因式分解 数学思想的应用
Abstract: There are many mathematical ideas, methods of factorization of also many, seemingly unrelated two math problems and how to put together and at the same time to shine; this method of using partial factorization to in-depth understanding of mathematical ideas and common;
Key Words: factoring Application of mathematical thought
一 什么是因式分解
因式分解它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛的应用于初等数学 中同时它也被很多的中学数学的教育者和研究者称为“解决数学问题的有力工具”。 既然被称为有力的工具，那什么是因式分解？
把一个多项式化为几个最简整整式的乘积形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）。
因式分解没有普遍的方法，在现有的中学教材中主要介绍了提公因式法、公式法；但为了学生更好的解题，很多的老师都会补讲拆项和添减项法、分组分解法、十字相乘法、待定系数法、双十字相乘法、对称多项式法、轮换对称多项式法、余式定理法、求根公式法、换元法、长除法、短除法、除法等，而到了大学中由于对高等代数以及数论的学习，又有了处理多元多项式的因式分解，同时也延伸出了处理一些特殊多元多项式
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的导数法，n元二次多项式的求秩合同变换法等等；那么在众多的方法中它们又是如何来体现我们的数学思想的？
二 什么是数学思想
数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。
数学思想发展至今，主要有转化思想、整体思想、类比思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、极限思想等。
三 因式分解中数学思想的应用
1.转化思想
在于将未知的，陌生的，复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的，熟悉的，简单的问题。三角函数，几何变换，因式分解，解析几何，微积分，乃至古代数学的尺规作等数学理论无不渗透着转化的思想。常见的转化方式有：一般 特殊转化，等价转化，复杂 简单转化，数形转化，构造转化，联想转化，类比转化等。
例1 把下列各式分解因式： （1）x2?8x?16； （2）a4?14a2b3?49b6 （3）9(2a?b)2?6(2a?b)?1
分析：我们初看，他们都不能直接用公式来因式分解，但可以看成是关于某个字母的二次三项式；或者其中有两项可以分别看作是两数的平方形式，且符号相同。
解（1）由于16可以看作42，于是有
x2?8x?16?x2?2?x?4?42
?(x?4)2；
（2）由幂的乘方公式，a4可以看作(a2)2，49b6可以看作(7b3)2，于是有
a4?14a2b3?49b6?(a2)2?2?a2?7b3?(7b3)2
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?(a2?7b3)2；
（3）由积的乘方公式，9(2a?b)2可以看作[3(2a?b)]2，于是有
9(2a?b)2?6(2a?b)?1 ?[3(2a?b)]2?2?3(2a?b)?1?1 ?[3(2a?b)?1]2
?(6a?3b?1)2
说明：在运用完全平方公式的过程中，再次体现转化思想的应用，可见转化思想是重要而且常用思想方法，要真正理解，学会运用。在这里就单举以上几个例子来阐述转化思想的转化形式。如果要把各种转化的类型都以例题拿出来，就没必要了。
2.整体思想
整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。
333a?2b?c)?(a?b)?(b?c)例2 分解因式：(：
分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c的关系，可以将它看成一个整体，利用整体思想将它变成我们已知的简单问题。 解：设a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B
?原式?(A?B)3?A3?B3?A3?3A2B?3AB2?B3?A3?B3?3A2B?3AB2?3AB(A?B)?3(a?b)(b?c)(a?2b?c)
例3 分解因式x2?x?1x2?x?2?12 解：设x2?x为A 原式??A?1??A?2??12 ?A2?3A?2?12 ??A?2??A?5?
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???? ?x2?x?2x2?x?5 ??x?1??x?2?x2?x?5
说明：整体思想其实在因式分解中应用是相当的广泛的，单是因式分解常见分解方法中的分组分解法就是一个很好的范例，所以在这里就不另外举更多的例子来说明因式分解法中的整体思想。
3.类比思想
把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处，那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处；
例 4 已知三角形的三边a、b、c满足等式a3?b3?c3?3abc，证明这个三角形是等
边三角形。
分析： 要证明以a、b、c为边的三角形是等边三角形，只要能证明a=b=c即可，题中给出了关于a、b、c的关系式a3?b3?c3?3abc，利用因式分解将它变形，在利用非负数的性质即可。
解 已知a3?b3?c3?3abc
即 (a+b+c)(a2?b2?c2－ab－bc－ca)=0
∵a+b+c≠0
∴a2?b2?c2－ab－bc－ca=0
∴(a2?2ab?b2)+(b2?2bc?c2)+(c2?2ac?a2)=0 ∴(a?b)2=(b?c)2=(c?a)2=0 ∴a=b=c
∴这个三角形是等边三角形
例 5 若
的形状。 解：因为
， ①
的三边a、b、c满足等式
，试判断
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