实验七 IIR数字滤波器的MATLAB实现
一、 实验目的：要求掌握IIR数字滤波器的设计原理、设计方法和设计步骤；能根据给定的滤波器指标进行滤波器设计；掌握数字巴特沃斯滤波器、数字切比雪夫滤波器的设计原理和步骤。
二、 实验仪器：电脑一台，MATLAB6.5或更高级版本软件一套。 三、 实验内容：
（一） 实验原理及实例分析
1. IIR数字滤波器的传递函数及特点
设IIR滤波器的输入序列为x(n)，则IIR滤波器的输入序列x(n)与输出序列y(n)之间的关系可以用下面的方程式表示：
y(n)??bix(n?i)??ajx(n?j)
i?0j?1MN
其中，aj和bi是滤波器的系数，其中aj中至少有一个非零。与之相对应的差分方程为：
Y(z)b0?b1z?1?....bMz?MH(Z)??X(z)1?a1z?1?....aNz?N
由传递函数可以发现无限常单位冲激响应滤波器有如下特点： （1） 单位冲激响应h(n)是无限长的。
（2） 系统传递函数H(z)在有限z平面上有极点存在。
（3） 结构上存在着输出到输入的反馈，也就是结构上是递归型的。 2. IIR数字滤波器的设计与实现
IIR数字滤波器的设计有多种方法，如频率变换法、数字域直接设计以及计算辅助设计等。下面只介绍频率变换设计法。首先考虑由模拟低通滤波器到数字低通滤波器的转换，其基本的设计过程如下:
（1） 将数字滤波器的技术指标转换为模拟滤波器的技术指标； （2） 设计模拟滤波器G(S)；
（3） 将G(S)转换成数字滤波器H(Z)；
在低通滤波器的设计基础上，可以得到数字高通、带通、带阻滤波器的设计流程如下：
（1） 给定数字滤波器的设计要求（高通、带阻、带通）； （2） 转换为模拟（高通、带阻、带通）滤波器的技术指标； （3） 转换为模拟低通滤波器的指标；
（4） 设计得到满足第三步要求的低通滤波器传递函数； （5） 通过频率转换得到模拟（高通、带阻、带通）滤波器； （6） 变换为数字（高通、带阻、带通）滤波器。
在MATLAB中设计IIR滤波器的方法及其它们所用到的函数如表6－1所示。
表7－1 MATLAB中设计IIR滤波器的方法列表
方法 描述 函数 完整设计函数： Beself,butter,cheby1,cheby2,ellip 滤波器的阶估计函数： Buttord,cheb1ord,cheb2ord,ellipord 低通模拟滤波器原型函数： beselap,buttap,cheb1ap,cheb2ap,ellipap 频域变换函数： Lp2bp,lp2bs,lp2hp,lp2lp 其他函数： Bilinear,impinvar yulewalk Maxflat 时域上的建模函数： Lpc,prony,stmcb 频域上的建模函数： Invfreqs,invfreqz 模拟原型法 采用经典低通滤波器作为 连续域上的设计模型，通 过频率变换得到IIR数字 滤波器，最后进行离散化处理 直接设计方法 通用butterworth 设计方法 直接在离散时域上估计线 性的幅度响应 使用butterworth设计低通 数字滤波器 寻找接近于所需要设计的 滤波器的通用原型 参数建模方法 表7－2 频率转换函数列表 频率转换 低通到低通s??s/?0 低通到高通s???0/s 转换函数 [numt,dent]=lp2lp(num.den,w0) [At,Bt,Ct,Dt]=lp2lp(A,B,C,D,w0) [numt,dent]=lp2hp(num.den,w0) [At,Bt,Ct,Dt]=lp2hp(A,B,C,D,w0) [numt,dent]=lp2bp(num.den,w0) [At,Bt,Ct,Dt]=lp2bp(A,B,C,D,w0) [numt,dent]=lp2bs(num.den,w0) [At,Bt,Ct,Dt]=lp2bs(A,B,C,D,w0) ?0(s/?0)2?1低通到带通s?? B?s/?0s/?0低通到带阻s?? ?0(s/?0)2?1B?3. 标准数字滤波器设计函数 MATLAB提供了一组标准的数字滤波器设计函数，大大简化了滤波器的设计过程。 1、 butter
功能：Butterworth模拟/数字滤波器设计 格式：[b,a]=butter(n,wn,'ftype',’s’)
[b,a]=butter(n,wn,'ftype') 说明：
? 选项中加入‘S’用于设计各种模拟Butterworth滤波器；不加设计各种数字Butterworth
滤波器
? Ftype为缺省，设计低通滤波器
? Ftype＝hign，设计高通滤波器 ? Ftype＝stop，设计带阻滤波器
【实例7-1】设计一个5阶Butterworth数字高通滤波器，阻带截止频率为250Hz。设采样频率为1000Hz。 解：源代码如下：
[b,a]=butter(5,250/500,'high') [z,p,k]=butter(5,250/500,'high') freqz(b,a,512,1000)
程序运行后，产生结果如下所示。 b =
0.0528 -0.2639 0.5279 -0.5279 0.2639 -0.0528 a =
1.0000 -0.0000 0.6334 -0.0000 0.0557 -0.0000 z =
1 1 1 1 1 p =
0.0000 + 0.7265i 0.0000 - 0.7265i 0.0000 + 0.3249i 0.0000 - 0.3249i 0.0000 k = 0.0528 图7－1
5阶Butterworth数字高通滤波器
2、 Cheby1、Cheby2
功能：chebyshevI、chebyshevII型模拟/数字滤波器设计 格式：[b,a]= cheby1(n,Rp,wn,'ftype',)
[b,a]= cheby2(n,Rs,wn,'ftype')
【实例7-2】设计一个7阶chebyshevII型数字低通滤波器，截止频率为3000Hz，
Rs＝30dB。设采样频率为1000Hz。
解：源程序如下：
[b,a]=cheby2(7,30,300/500')；
[z,p,k]=butter(5,250/500,'high')； freqz(b,a,512,1000)
程序运行后，产生如图6－2所示的波形。
图7－2 7阶chebyshevII型数字低通滤波器
4. 冲激响应不变法
一般来说，在要求时域冲激响应能模仿模拟滤波器的场合，一般使用冲激响应不变法。冲激响应不变法一个重要特点是频率坐标的变换是线性的，因此如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率的话，则通过变换后滤波器的频响应可不失真的反映原响应与频率的关系。 【实例7-3】设计一个中心频率为500HZ，带宽为600Hz的数字带通滤波器，采样频率为
1000Hz。
解：源代码如下：
[z,p,k]=buttap(3); [b,a]=zp2tf(z,p,k);
[bt,at]=lp2bp(b,a,500*2*pi,600*2*pi);
[bz,az]=impinvar(bt,at,1000); %将模拟滤波器变换成数字滤波器 freqz(bz,az,512,'whole',1000) 程序运行后，产生如图6－3所示的波形。
