江苏省如皋中学2015-2016学年度高二第一学期期中数学试卷
（理科试卷）
一． 填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1. 椭圆x2?y24?1的离心率为_____________.
2. 抛物线y??ax2的准线方程为 ．
223.若双曲线xyba2?b2?1?a?0,b?0?的离心率为2，则a= .
4.对于常数m、n,“mn?0”是“方程mx2?ny2?1的曲线是椭圆”的 条件.
5.由命题“存在x?R，使e|x?1|?m?0”是假命题，得m的取值范围是(??,a)，则实数a的值是 ．
6.已知p:5x?2?3,q:1x2?4x?5?0,则?p是?q的 条件
7.下列选项叙述错误的是
A.命题“若x?1，则x2?3x?2?0”的逆否命题是“若x2?3x?2?0，则x?1” B.若命题p：?x?R,x2?x?1?0，则?p：?x?R,x2?x?1?0 C.若p?q为真命题，则p，q均为真命题
D.“x?2”是“x2?3x?2?0”的充分不必要条件
x2y28.双曲线5?k?k?2?1的焦点与k无关，则k的取值范围为 .
??1?t29.将参数方程?x?2?1?tt（t为参数）化为普通方程为 . ???y?41?t2
10.如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A、B、C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程是 .
11.已知双曲线x29?y216?1的右焦点为F，点A(9,2)试在双曲线上求一点M使
MA?35MF的值最小，则这个最小值为 ．
分别过椭圆x2a?y212.b?1?a?0,b?0?的左、右焦点F1,F2所作的两条互相垂直的直线l1,l2的交点在此椭圆的内部,则此椭圆的离心率e的取值范围是 .
13.直线y?3x?2与圆心为D的圆?x?1?2??y?3?2?1交于A,B两点，直线AD,BD的倾
斜角分别为?,?，则tan?????= ．
14.已知椭圆x24?y23?1,若此椭圆上存在不同的两点A,B关于直线y?4x?m对称,则实数m的取值范围是 ．
二．解答题：（本大题共6小题，共90分.请在答题纸指定区域作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.(本题14分)已知直线l经过点P(1,1),倾斜角???6.
（1）写出直线l的参数方程；
（2）设l与圆x2?y2?4相交与两点A,B，求点P到A,B两点的距离之积.
16.（本题14分）已知命题P：函数y?loga(2x?1)在定义域上单调递减；
命题Q：不等式(a?2)x2?2(a?2)x?4?0对任意实数x恒成立.若P?Q是真命题，求实数a的取值范围
1
17.（本题14分）已知命题p:xx?3?0,q:3?m2?x?3?m2,若命题p是命题q成立的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
18.（本题16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，圆C：(x?1)2?y2?16，点F?1,0?，E是圆C上的一个动点，EF的垂直平分线PQ与CE交于点B，与EF交于点D。 （1）求点B的轨迹方程；
（2）当D位于ｙ轴的正半轴上时，求直线PQ的方程；
（3）若G是圆上的另一个动点，且满足FG⊥FE。记线段EG的中点为M，试判断线段OM的长度是否为定值？若是，求出该定值;若不是，说明理由。
y PE B DQ C OFx
19.（本题16分）在平面直角坐标系xOy，已知椭圆E：x2y22+b2=1(a>b>0)过点?1， 6a2?，
其左右焦点分别为F21，F2，离心率为2．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若A，B分别是椭圆E的左右顶点，动点 ①求证：???OP?M满足MB?AB，且MA交椭圆E于点P．
?????OM?为定值；
②设PB与以PM为直径的圆的另一交点为Q，问直线MQ是否过定点，并说明理由
x2y220.（本题16分）如图,在平面直角坐标系xoy中，椭圆C:a2?b2?1(a?b?0)的离心率为
63，直线l与x轴交于点E，与椭圆C交于A、B两点. 当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时，弦AB的长为263.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点E的坐标为(32,0)，点A在第一象限且横坐标为3，连结点A与原点O的
直线交椭圆C于另一点P，求?PAB的面积
（3）是否存在点E，使得1EA2?1EB2为定值？若存在，请指出点E的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由. y A F1OEF2x P B
第20题 2
高二第一学期期中数学试卷答案
1.
32 2. y?14a 3.
3 4. 必要不充分条件 5. 1 6. 充分不必要 7. C 8.
?2?2,0? 9. x2?y4?1(x??1) 10. y2?3x 11. 3635 12.
13. ?4 14. ???213213??13,13?? ????x?315. （1）直线的参数方程为?1??2t． ……………………7分 ???y?1?12t??（2）把直线?x?1?3?2t代入x2?y2?4， ???y?1?12t得(1?32t)2?(1?12t)2?4,t2?(3?1)t?2?0，……………………12分
t1t2??2，
则点P到A,B两点的距离之积为2．……………………14分 16. 解∵命题P函数y?log（a2x-1）在定义域上单调递减；∴0?a?1 …………4分 又∵命题Q不等式(a?2)x2?2(a?2)x?4?0对任意实数x恒成立；
∴a?2 或??a?2?0???4(a?2)2?16(a?2)?0， 即?2?a?2……………………10分
∵P?Q是真命题，∴a的取值范围是?2?a?2……………………14分
18. 解：(1)由已知BF?BE，所以BC?BF?BC?BE?CE?4，
所以点B的轨迹是以C，F为焦点，长轴为4的椭圆，
所以B点的轨迹方程为x24?y23?1； ……………………4分
⑵当点D位于y轴的正半轴上时，因为D是线段EF的中点，O为线段CF的中点，
所以CE∥OD，且CE?2OD，所以E，D的坐标分别为(?1，4)和(0，2)，
因为PQ是线段EF的垂直平分线，所以直线PQ的方程为y?12x?2，
即直线PQ的方程为x?2y?4?0． ……………………10分
⑶设点E，G的坐标分别为(x?x2y1?y1，y1)和(x2，y2)，则点M的坐标为(x12，22)， 因为点E，G均在圆C上，且FG?FE，
所以(x1?1)2?y221?16 ① (x2?1)?y22?16 ② (x1?1)(x2?1?)y1y2? 0③ 所以x21?y21?15?2x1，x22?y22?15?2x2，x1x2?y1y2?x1?x2?1．
所以MO2?1[(x141?x2)2?(y1?y2)2]?4[(x21?y21)?(x222?y2)?2(x1x2?y1y2)]
?14[15?2x1?15?2x2?2(x1?x2?1)]?7， 即M点到坐标原点O的距离为定值，且定值为7．……………………16分
?3?119. 解：（1）易得??2?1， ?a2b2且c2?a2?b2，解得??a2?4，?? b2
?c2??2， ?a?2， ?E的方程为x24+y2所以椭圆2=1……………………4分
（2）设M(2， yy00)，P(x1， y1)，①易得直线MA的方程为：y?x?y042， 代入椭圆x2y2?y2?2202y0y04+2=1得，1?8x?2x?2?4?0， 由?2x4?y20?8??2?y20?8?1?y2得，x1??8，从而y1?8y0， 0?8y20y20?8???????????2?y22 所以OP?OM?0?8?8y0??4?y0?8?，?8y2 0?y20?8 y20?8???(2， y0)?y20?8?y2?4， 0?8……………………10分
②直线MQ过定点O(0， 0)，理由如下： 8y0 依题意，k?y20?82PB?（2y2??，由MQ?PB得，ky0MQ?0?8）y2， y28?200? 则MQ的方程为：y?yy00?2(x?2)，
即y?y02x，所以直线MQ过定点O(0， 0)．……………………16分
20. 解：（1）由
c6a?3，设a?3k(k?0)，则c?6k，b2?3k2， C的方程为x2y2所以椭圆9k2?3k2?1，因直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点，即
3
266，即k?， xA?xB?6k，代入椭圆方程，解得y??k，于是2k?33x2y2??1………………………………4分 所以椭圆C的方程为62x2y2??1，解得y??1，因点A在第一象限，从而A(3,1)， （2）将x?3代入11??2. EA2EB211?综上所述，存在点E(?3,0)，使得为定值2……………16分 22EAEB将上述关系代入，化简可得
62由点E的坐标为(322,0)，所以kAB?3，直线PA的方程为y?23(x?32)，
联立直线PA与椭圆C的方程，解得B(?35,?75)， 又PA过原点O，于是P(?3,?1)，PA?4，所以直线PA的方程为x?3y?0，?373所
以
点
B到直线
PA的距离
h?5?52?335S13363?PAB?2?4?5?5………10分 （3）假设存在点E，使得1EA2?1EB2为定值，设E(x0,0)， 当直线AB与x轴重合时，有111112?2x20EA2?EB2?(x2?2?0?6)(6?x0)(6?x22，0)当直线AB与x轴垂直时，1EA2?1EB2?2x2?6，
06?x22(1?06)12?2x2由06(6?x22?2，解得x0??3，62?2， 0)6?x06?x0所以若存在点E，此时E(?3,0)，1EA2?1EB2为定值2. ……………12分 根据对称性，只需考虑直线AB过点E(3,0)，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
又设直线AB的方程为x?my?3，与椭圆C联立方程组， 化简得(m2?3)y2?23my?3?0，所以y?23m?31?y2?m2?3，y1y2?m2?3， 又
1111EA2?(x22??， 1?3)?y1m2y22(m2?1)y21?y11所以1111(y21?y2)?2y1y2EA2?EB2?(m2?1)y2?(m2?1)y2?222， 12(m?1)y1y2
，
4
