2010年各地中考数学压轴题详解（精选21道）
1.如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为
（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、
C不重合），过点D作直线y＝－
1x＋b交折线OAB于2C O y D B 点E．
（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式； （2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE
的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.
E A x
【分析】（1）要表示出△ODE的面积，要分两种情况讨论，①如果点E在OA边上，只需求出这个三角形的底边OE长（E点横坐标）和高（D点纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如果点E在AB边上，这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积；
（2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化．
【答案】（1）由题意得B（3，1）．
3 25若直线经过点B（3，1）时，则b＝
2若直线经过点A（3，0）时，则b＝若直线经过点C（0，1）时，则b＝1
若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤
yy3，如图25-a， 2
DCEOBAxCDBE图1
OAx图2 此时E（2b，0）
∴S＝
11OE·CO＝32b31＝b 2235＜b＜，如图2 22②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即
此时E（3，b?3），D（2b－2，1） 2∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE ＋S△DBE )
＝ 3－[
1151352(2b－1)×1＋×(5－2b)2(?b)＋33(b?)]＝b?b 2222221
?b??∴S???5b?b2??21?b?32
35?b?227.（甘肃兰州）28.（本题满分11分）如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、
2y??x?bx?c经过坐标原点O和xAB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3；抛物线
轴上另一点E（4,0）
（1）当x取何值时，该抛物线的最大值是多少？
（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平
行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）.
t?① 当
114时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
② 以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由．
图1 图2
第28题图
2y??x?bx?c经过坐标原点O（0,0）和点E（4,0） 解：（1）因抛物线
故可得c=0,b=4
所以抛物线的解析式为y??x?4x????????????????1分
2y???x?2??4y??x?4x由
22得当x=2时，该抛物线的最大值是4. ????????????????2分
（2）① 点P不在直线ME上. 已知M点的坐标为(2,4)，E点的坐标为(4,0)， 设直线ME的关系式为y=kx+b.
?4k?b?0?k??2??2k?b?4?于是得 ，解得?b?8
所以直线ME的关系式为y=-2x+8. ????????????????3分
t?由已知条件易得，当
11111111P(,)4时，OA=AP=4，44???????4分
∵ P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8.
2
∴ 当
t?114时，点P不在直线ME上. ??????????????5分
②以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5 ∵ 点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上， ∴ OA=AP=t.
∴ 点P，N的坐标分别为(t,t)、(t,-t+4t) ?????????????6分
∴ AN=-t+4t (0≤t≤3) ,
∴ AN-AP=(-t+4 t)- t=-t+3 t=t(3-t)≥0 , ∴ PN=-t+3 t ???????????????????????????????7分 （ⅰ）当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形
11的高为AD，∴ S=2DC2AD=23332=3. （ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形
∵ PN∥CD，AD⊥CD，
11 2 2
∴ S=2(CD+PN)2AD=2[3+(-t+3 t)]32=-t+3 t+3???????8分 当-t+3 t+3=5时，解得t=1、2???????????????????9分 而1、2都在0≤t≤3范围内，故以P、N、C、D为顶点的多边形面积为5 综上所述，当t=1、2时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积为5， 当t=1时，此时N点的坐标（1,3）???????????????10分 当t=2时，此时N点的坐标（2,4）???????????????11分
说明：（ⅱ）中的关系式，当t=0和t=3时也适合.（故在阅卷时没有（ⅰ），只有（ⅱ）也可以,不扣分）
2
8.（江苏盐城）28．（本题满分12分）已知：函数y=ax+x+1的图象与x轴只有一个公共点． （1）求这个函数关系式；
2
（2）如图所示，设二次函数y=ax+x+1图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象．．上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；
（3）在(2)中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物
2
线y=ax+x+1上，若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由． y y
P
A C x B O
解：（1）当a = 0时，y = x+1，图象与x轴只有一个公共点???(1分)
1
当a≠0时，△=1- 4a=0，a = ，此时，图象与x轴只有一个公共点．
4
12
∴函数的解析式为：y=x+1 或`y= x+x+1??（3分）
4
3
2
2
2
2
2
2
M Q E B -2 1 A O 1 D x （2）设P为二次函数图象上的一点，过点P作PC⊥x 轴于点C．
2
∵y=ax+x+1 是二次函数，由（1）知该函数关系式为： 1
y= x2+x+1，则顶点为B（-2，0），图象与y轴的交点 4
坐标为A（0，1）???（4分）
∵以PB为直径的圆与直线AB相切于点B ∴PB⊥AB 则∠PBC=∠BAO ∴Rt△PCB∽Rt△BOA
∴PC?BC，故PC=2BC，????????????????????（5分）
OBAO设P点的坐标为(x，y)，∵∠ABO是锐角，∠PBA是直角，∴∠PBO是钝角，∴x<-2 ∴BC=-2-x，PC=-4-2x，即y=-4-2x， P点的坐标为(x，-4-2x)
1212
∵点P在二次函数y= x+x+1的图象上，∴-4-2x= x+x+1???????（6分）
44
解之得：x1=-2，x2=-10
∵x<-2 ∴x=-10，∴P点的坐标为：(-10，16)?????????????（7分）
2
（3）点M不在抛物线y=ax+x+1 上?????????????????（8分） 由（2）知：C为圆与x 轴的另一交点，连接CM，CM与直线PB的交点为Q，过点M作
x轴的垂线，垂足为D，取CD的中点E，连接QE，则CM⊥PB，且CQ=MQ
1
∴QE∥MD，QE= MD，QE⊥CE
2
∵CM⊥PB，QE⊥CE PC⊥x 轴 ∴∠QCE=∠EQB=∠CPB
1
∴tan∠QCE= tan∠EQB= tan∠CPB = 2816
CE=2QE=232BE=4BE，又CB=8，故BE= ，QE= 55
1816
∴Q点的坐标为(- ， ) 551432
可求得M点的坐标为( ， )???????????????????（11分）
55
11421414432∵()+()+1 = ≠ 455255∴C点关于直线PB的对称点M不在抛物线y=ax+x+1 上????????（12分） (其它解法，仿此得分)
9.（浙江台州）24．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B 向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点， HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点AB2
时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y． （1）求证：△DHQ∽△ABC；
（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值； （3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？
PEDQA H C（第24题） 解：（1）∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB，
∴?HQD??C=90°，HD=HA， ∴?HDQ??A，????????????????????????????3分 ∴△DHQ∽△ABC． ??????????????????????????1分
B4
PEDQBPDEQ
