（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x+2bx+（a﹣c）=0，可整理为： 2
2ax+2ax=0， 2
∴x+x=0，
解得：x1=0，x2=﹣1． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式和勾股定理逆定理等知识，正确由已知获取等量关系是解题关键． 21．（7分）（2015?铁岭）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E、F分别在边CD、AB上．
（1）若DE=BF，求证：四边形AFCE是平行四边形； （2）若四边形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周长．
2
【考点】矩形的性质；平行四边形的判定；菱形的性质． 【专题】证明题． 【分析】（1）首先根据矩形的性质可得AB平行且等于CD，然后根据DE=BF，可得AF平行且等于CE，即可证明四边形AFCE是平行四边形；
（2）根据四边形AFCE是菱形，可得AE=CE，然后设DE=x，表示出AE，CE的长度，根据相等求出x的值，继而可求得菱形的边长及周长． 【解答】解；（1）∵四边形ABCD为矩形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∵DE=BF，
∴AF=CE，AF∥CE，
∴四边形AFCE是平行四边形； （2）∵四边形AFCE是菱形， ∴AE=CE， 设DE=x，
则AE=则
，CE=8﹣x， =8﹣x，
解得：x=，
则菱形的边长为：8﹣=周长为：4×
=25，
，
故菱形AFCE的周长为25．
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【点评】本题考查了矩形的性质和菱形的性质，解答本题的关键是则矩形对边平行且相等的性质以及菱形四条边相等的性质． 22．（9分）（2015?荆州）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线AB分别与x轴、y轴交于B和A，与反比例函数的图象交于C、D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO=，OB=4，OE=2．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式； （2）求△OCD的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】（1）根据已知条件求出A、B、C点坐标，用待定系数法求出直线AB和反比例的函数解析式；
（2）联立一次函数的解析式和反比例的函数解析式可得交点D的坐标，从而根据三角形面积公式求解． 【解答】解：（1）∵OB=4，OE=2， ∴BE=2+4=6．
∵CE⊥x轴于点E，tan∠ABO===．
∴OA=2，CE=3．
∴点A的坐标为（0，2）、点B的坐标为C（4，0）、点C的坐标为（﹣2，3）． 设直线AB的解析式为y=kx+b，则
，
解得．
故直线AB的解析式为y=﹣x+2． 设反比例函数的解析式为y=（m≠0）， 将点C的坐标代入，得3=∴m=﹣6．
∴该反比例函数的解析式为y=﹣．
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，
（2）联立反比例函数的解析式和直线AB的解析式可得，
可得交点D的坐标为（6，﹣1）， 则△BOD的面积=4×1÷2=2， △BOC的面积=4×3÷2=6， 故△OCD的面积为2+6=8． 【点评】本题是一次函数与反比例函数的综合题．主要考查待定系数法求函数解析式．求A、B、C点的坐标需用正切定义或相似三角形的性质，起点稍高，部分学生感觉较难． 23．（8分）（2015?朝阳）在学习概率的课堂上，老师提出问题：只有一张电影票，小明和小刚想通过抽取扑克牌的游戏来决定谁去看电影，请你设计一个对小明和小刚都公平的方案．
甲同学的方案：将红桃2、3、4、5四张牌背面向上，小明先抽一张，小刚从剩下的三张牌中抽一张，若两张牌上的数字之和是奇数，则小明看电影，否则小刚看电影． （1）甲同学的方案公平吗？请用列表或画树状图的方法说明；
（2）乙同学将甲的方案修改为只用红桃2、3、4三张牌，抽取方式及规则不变，乙的方案公平吗？（只回答，不说明理由）
【考点】游戏公平性；列表法与树状图法． 【分析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，比较即可． （2）解题思路同上． 【解答】解：（1）甲同学的方案不公平．理由如下： 列表法， 3 4 5 小明 2 小刚 2 （2，3） （2，4） （2，5） 3 （3，2） （3，4） （3，5） 4 （4，2） （4，3） （4，5） 5 （5，2） （5，3） （5，4） 所有可能出现的结果共有12种，其中抽出的牌面上的数字之和为奇数的有：8种，故小明获胜的概率为：=，则小刚获胜的概率为：，
故此游戏两人获胜的概率不相同，即他们的游戏规则不公平；
（2）不公平．理由如下： 3 4 小明 2 小刚 2 （2，3） （2，4） 3 （3，2） （3，4） 4 （4，2） （4，3） 第23页（共28页）
所有可能出现的结果共有6种，其中抽出的牌面上的数字之和为奇数的有：4种，故小明获胜的概率为：=，则小刚获胜的概率为：，
故此游戏两人获胜的概率不相同，即他们的游戏规则不公平． 【点评】此题主要考查了游戏公平性，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合于两步或两步以上的完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 24．（8分）（2015?兰州）如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直，为了测得电线杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度为2米，落在地面上的影子BF的长为10米，而电线杆落在围墙上的影子GH的长度为3米，落在地面上的影子DH的长为5米，依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度． （1）该小组的同学在这里利用的是 平行 投影的有关知识进行计算的； （2）试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程．
【考点】相似三角形的应用；平行投影． 【分析】（1）这是利用了平行投影的有关知识；
（2）过点E作EM⊥AB于M，过点G作GN⊥CD于N．利用矩形的性质和平行投影的知
识可以得到比例式：=，即=，由此求得CD即电线杆的高度即可．
【解答】解：（1）该小组的同学在这里利用的是 平行投影的有关知识进行计算的； 故答案是：平行；
（2）过点E作EM⊥AB于M，过点G作GN⊥CD于N． 则MB=EF=2，ND=GH=3，ME=BF=10，NG=DH=5． 所以AM=10﹣2=8， 由平行投影可知，
=
，即
=
，
解得CD=7，即电线杆的高度为7米．
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