sin(???)?sin?cos??cos?sin??∴
17．（本小题满分13分）
5312463????13513565
在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用所得成绩，且前5位同学的成绩如下： 编号n 成绩1 70 2 76 xn表示编号为n(n?1,2,?,6)的同学
3 72 4 70 5 72 xn （1）求第6位同学的成绩
x6，及这6位同学成绩的标准差s；
（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率．
1(70?76?72?70?72?x6)?75x?90 617．解：（1），解得6标
准
差
s?112[(x1?x)2?(x?x)???(x?x)]?(5?1?32?5?3?15)?766
（2）前5位同学中随机选出的2位同学记为(a,b)，a,b?{1,2,3,4,5}且a?b
则基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共10种
这5位同学中，编号为1、3、4、5号的同学成绩在区间（68，75）中
设A表示随机事件“从前5位同学中随机选出2位同学，恰有1位同学成绩在区间（68，75）中”
则A中的基本事件有(1,2)、(2,3)、(2,4)、(2,5)共4种，则
P(A)?42?105
18．（本小题满分13分）
图5所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿
??????切面向右水平平移后得到的．A,A,B,B分别为CD,C?D?,DE,D?E?的中点，
?,O2,O?2O1,O1分别为CD,C?D?,
DE,D?E?的中点．
（1）证明：
O1?,A?,O2,B四点共面；
17
（2）设G为AA?中点，延长
A?O1?到H?，使得
O1?H??A?O1?．证明：
BO2??A? 平面H?B?G．
C? H? O1? D? O2?B? E?
G A C O1 D B 图5
O2 E
BO2,O2O2?,
18．证明：（1）连接
依题意得
A? O1,O1?,O2,O2?是圆柱底面圆的圆心
C? H? O1? D? O2?B? E?
????∴CD,CD,DE,DE是圆柱底面圆的直径
∵A,B,B分别为C?D?,DE,D?E?的中点 ∴∴
G A ?????
?A?O1?D???B?O2?D??90?A?O1?∥
BO2?C
O1 H D B
O2 E
OO?B?BOO?∵BB?//22，四边形22是平行四边形
∴∴∴
BO2∥BO2?
A?O1?∥
BO2
四点共面
O1?,A?,O2,B（2）延长∵∴
A?O1到H，使得O1?H?AO1?，连接HH?,HO1?,HB
，四边形
O1?H??A?O1?O1?H?//O2?B?O1?O2?B?H?是平行四边形
18
∴O1?O2?∥H?B?
∵O1?O2??O2O2?，
O1?O2??B?O2?，
O2O2??B?O2??O2?
∴
O1?O2??面
O2O2?B?B
∴H?B??面O2O2?B?B，
BO2??面
O2O2?B?B
∴
BO2??H?B?
易知四边形AA?H?H是正方形，且边长AA??2
tan?HO1?H??HH??2tan?A?H?G?A?G∵O?11?H?，
A?H?2 ∴
tan?HO1?H??tan?A?H?G?1
∴?HO1?H???A?H?G?90?
∴
HO1??H?G
易知O1?O2?//HB，四边形O1?O2?BH是平行四边形
∴BO2?∥
HO1?
∴BO2??H?G，H?G?H?B??H?
∴
BO2??平面H?B?G．
19．（本小题满分14分）
设a?0，讨论函数
f(x)?lnx?a(1?a)x2?2(1?a)x的单调性． 19
19．解：函数f(x)的定义域为(0,??)
12a(1?a)x2?2(1?a)x?1f?(x)??2a(1?a)x?2(1?a)?xx
令g(x)?2a(1?a)x?2(1?a)x?1
2??4(1?a)2?8a(1?a)?12a2?16a?4?4(3a?1)(a?1)
1?a?(3a?1)(a?1)1x?0?a?2a(1?a)3时，??0，令f?(x)?0，解得 ① 当
0?x?则当
1?a?(3a?1)(a?1)1?a?(3a?1)(a?1)x??2a(1?a)2a(1?a)或时，f(x)?0
1?a?(3a?1)(a?1)1?a?(3a?1)(a?1)?x??2a(1?a)2a(1?a)当时，f(x)?0
则f(x)在
(0,1?a?(3a?1)(a?1)1?a?(3a?1)(a?1))(,??)2a(1?a)2a(1?a)，上单调递增，
1?a?(3a?1)(a?1)1?a?(3a?1)(a?1)(,)2a(1?a)2a(1?a)在上单调递减
1?a?1?② 当3时，??0，f(x)?0，则f(x)在(0,??)上单调递增
?③ 当a?1时，??0，令f(x)?0，解得
x?1?a?(3a?1)(a?1)2a(1?a)
∵x?0，∴
x?1?a?(3a?1)(a?1)2a(1?a)
1?a?(3a?1)(a?1)?2a(1?a)时，f(x)?0
0?x? 则当
x?当
1?a?(3a?1)(a?1)?2a(1?a)时，f(x)?0
(0,1?a?(3a?1)(a?1)1?a?(3a?1)(a?1))(,??)2a(1?a)2a(1?a)上单调递增，在上单调
则f(x)在递减
20
