?2?3?21?r?102/19?1/19? A??354?2? ~ ?0114/19?7/19??876?3??000?0????于是得
x1??(2/19)x3?(1/19)x4 ??x??(14/19)x?(7/19)x?234 取(x3 取(x3
x4) x4)
T
x2) x2)
T(19 0)(0
19)
T 得(x1 得(x1
(2(1
14) 7)
TT
TTT
因此方程组的基础解系为 19)
(3)nx1
(n1)x2
2xn1
1
(2 14 19 0)
T
2
(1 7 0
T
xn0.
解 原方程组即为
xn 取x1
nx1(n1)x2 2xn1 x2
1
x3 xn
1
0
得xnn
0
得
取x21 x1x3x4 xn1
xn(n1)n1
取xn1
1
x1x2 xn2
0 得xn2
因此方程组的基础解系为
23且
1
(1(0
0 1
0 0
0 0
n)T n1)T
2
n1
(0 0 0 1 2)
T
2?213, 求一个42矩阵B, 使AB0, 设A???9?528????R(B)2.
解 显然B的两个列向量应是方程组AB0的两个线性无关的解
因为
r2?213 ~ ?10?1/81/8? A???9?528???01?5/8?11/8?????
所以与方程组AB0同解方程组为
x1?(1/8)x3?(1/8)x4 ??x?(5/8)x?(11/8)x?234 取(x3 取(x3方程组AB x4) x4)
T
得(x1 x2) 得(x1 x2)
T(8(0
0) 8)
T(1 5)(
T
TTTT1 11)
0的基础解系为
1
(1 5 8 0)
T
2
(1 11 0 8)
T
?1?5 因此所求矩阵为B??8?0? 24
1
?1?11?0?8??
求一个齐次线性方程组, 使它的基础解系为 (0 1 2
3)
T
2
(3 2 1 0)
T
解 显然原方程组的通解为
?x1??0??x1?3k23???x??1??2??x?k?2k2?x??k1?2??k2?1?, 即?x2?21k?k2?3??3??0??x3?3k12???41?x4??? (k1 k2R)
消去k1 k2得
?2x1?3x2?x4?0?x?3x?2x?0?134此即所求的齐次线性方程组. 25
设四元齐次线性方程组
II
x1?x2?0 I ??x?x?0
?24求
x1?x2?x3?0 ??x?x?x?0?234
(1)方程I与II的基础解系 (2) I与II的公共解
x1??x4 解 (1)由方程I得??x?x?24 取(x3 取(x3
x4) x4)
T
T(1(0
0) 1)
T 得(x1 x2) 得(x1 x2)
(0 0)(
T
TTTT1 1)
因此方程I的基础解系为
1
(0 0 1 0)
T
2
(1 1 由方程II得??x1??x4?x
2?x3?x4 取(x3 xT4)(1 0)T 得(xT1 x2)(0 取(xT3
x4)
(0
1)
T 得(xT1 x2)
(
1 因此方程II的基础解系为
1
(0 1 1 0)
T
2
(1 1 (2) I与II的公共解就是方程 ? III ?x?x1?x2?0?x2?x4?0
1?x2?x?x2?x3?03?x4?0的解 因为方程组III的系数矩阵
?10 A???01?01??r?0?0? ~ ?1?0100101?110?1?111?01??1??
???00002?0?? 0 1)
TT
1)
T 0 1)
T
1)
