→→
∴MA·MB＝(－x，－y)·(2－x，－y) ＝－x(2－x)＋y＝(x－1)＋y－1，
→→22
由?x－1?＋y∈[0,2]，∴MA·MB∈[－1,3]．
→→
8.如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，D是BC的中点，则BA·AD的值为________．
2
2
2
答案 －17
解析 如图，建立平面直角坐标系，
则C(0,0)，A(3,0)，B(0,4)，D(0,2)． →→
则BA＝(3，－4)，AD＝(－3,2)． →→
∴BA·AD＝3×(－3)－4×2＝－17.
17→→→→
9．(2018·南京模拟)在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，BM＝λBC.若AM·BC＝－，3则实数λ的值为________． 1答案 3
→→→→→
解析 由题意知，AM＝AB＋BM＝AB＋λBC →→→→→＝AB＋λ(AC－AB)＝(1－λ)AB＋λAC，
→→→→→→→2→2→→所以AM·BC＝[(1－λ)AB＋λAC]·(AC－AB)＝(λ－1)·AB＋λAC＋(1－2λ)AB·AC＝171
9(λ－1)＋4λ＋(1－2λ)×3×2×cos120°＝19λ－12＝－，所以λ＝.
33
→→
10．(2016·江苏)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，BA·CA→→→→
＝4，BF·CF＝－1，则BE·CE的值是________．
13
7答案 8
→→
解析 设AB＝a，AC＝b，
→→
则BA·CA＝(－a)·(－b)＝a·b＝4.
又∵D为BC中点，E，F为AD的两个三等分点， 11→1→→
则AD＝(AB＋AC)＝a＋b，
222→→
AF＝AD＝a＋b. AE＝AD＝a＋b，
1→136
1
6
2→1331
3
1121→→→
BF＝BA＋AF＝－a＋a＋b＝－a＋b，
33331112→→→
CF＝CA＋AF＝－b＋a＋b＝a－b，
3333
22225225→→?21??12?2
则BF·CF＝?－a＋b??a－b?＝－a－b＋a·b＝－(a＋b)＋×4＝－1.
99999?33??33?2922
可得a＋b＝.
2
1151→→→
又BE＝BA＋AE＝－a＋a＋b＝－a＋b.
66661115→→→
CE＝CA＋AE＝－b＋a＋b＝a－b，
6666
5226529267→→?51??15?2
则BE·CE＝?－a＋b??a－b?＝－(a＋b)＋a·b＝－×＋×4＝.
3636362368?66??66?
→→→
11．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，求PA·(PB＋PC)的最小值． 解 方法一 设BC的中点为D，AD的中点为E，
14
则有→PB＋→PC＝2→PD， 则→PA·(→PB＋→PC)＝2→PA·→PD ＝2(→PE＋→EA)·(→PE－→EA) ＝2(→PE2－→EA2
)． 而→AE2＝??3??2?23?＝4
，
当P与E重合时，→PE2
有最小值0， 故此时→PA·(→PB＋→
PC)取最小值， 最小值为－2→EA2
＝－2×334＝－2
. 方法二 以AB所在直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，
则A(－1,0)，B(1,0)，C(0，3)， 设P(x，y)，取BC的中点D， 则D??1
3??2，2??.
→
PA·(PB→＋PC→)＝2PA→·PD→
＝2(－1－x，－y)·??1
3??2－x，2－y??
＝2????x＋1?·???x－12???＋y·???y－3?2?????
＝2???1?2?
3?23????x＋4??＋??y－4??－4??.
因此，当x＝－14，y＝3
4
时，
→
PA·(PB→＋PC→
)取最小值，为2×??－33?4
???
＝－2
.
12．(2017·江苏)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－3)，x∈[0，π]．(1)若a∥b，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．
15
解 (1)因为a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－3)，a∥b， 所以－3cosx＝3sinx.
若cosx＝0，则sinx＝0，与sinx＋cosx＝1矛盾， 故cosx≠0.于是tanx＝－
3. 3
2
2
5π
又x∈[0，π]，所以x＝. 6
(2)f(x)＝a·b＝(cosx，sinx)·(3，－3)
?π?＝3cosx－3sinx＝23cos?x＋?.
6??
因为x∈[0，π]，所以x＋
π?π7π?∈?，?，
6?6?6
3?π?从而－1≤cos?x＋?≤，
6?2?
ππ
于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取得最大值3；
66π5π
当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值－23.
66
→→→→→
13．已知O是△ABC内部一点，OA＋OB＋OC＝0，AB·AC＝2且∠BAC＝60°，则△OBC的面积为________． 答案
3 3
→→→
解析 ∵OA＋OB＋OC＝0，
→→→
∴OA＋OB＝－OC，∴O为三角形的重心， 1
∴△OBC的面积为△ABC面积的，
3→→→→
∵AB·AC＝2，∴|AB||AC|cos∠BAC＝2， →→
∵∠BAC＝60°，∴|AB||AC|＝4， 1→→
△ABC的面积为|AB||AC|sin∠BAC＝3，
2∴△OBC的面积为
3. 3
→→→
14．在△ABC中，∠A＝120°，AB·AC＝－3，点G是△ABC的重心，则|AG|的最小值是________．
16
