答案 1
→→
解析 ∵AD·BC＝0，
→→
∴AD⊥BC，且D为BC的中点，∠B＝∠C＝30°， →→
∴在Rt△ADB中可求得AD＝1，AD·DE＝0， →→→→→→2→→∵AD·AE＝AD·(AD＋DE)＝AD＋AD·DE， →→
∴AD·AE＝1.
思维升华平面向量数量积的三种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用数量积的几何意义求解．
题型二 平面向量数量积的应用
命题点1 求向量的模与夹角
→→→例1(1)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝5，AC＝6，D是AB上一点，且AB·CD＝－5，则|BD|＝________. 答案 3
解析 如图所示，
→→→→→→→设AD＝kAB，所以CD＝AD－AC＝kAB－AC， →→→→→所以AB·CD＝AB·(kAB－AC) →2→→＝kAB－AB·AC 1
＝25k－5×6× 2＝25k－15＝－5，
5
2→?2?→
解得k＝，所以|BD|＝?1－?|AB|＝3.
5?5?
(2)设向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·(a－b)＝3，则a与b的夹角为________． 答案
π 3
2
解析 由题意得a·(a－b)＝a－a·b ＝4－2×1×cosα＝4－2cosα＝3， 1π
∴cosα＝，∵0≤α≤π，∴α＝.
23
(3)设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝2，a·b＝－2，〈a－c，b－c〉＝60°，则|c|的最大值为________． 答案 4
解析 因为|a|＝|b|＝2，a·b＝－2，
a·b1
所以cos〈a，b〉＝＝－，〈a，b〉＝120°.
|a||b|2
→→→
如图所示，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，
→→
则CA＝a－c，CB＝b－c，∠AOB＝120°. 所以∠ACB＝60°，所以∠AOB＋∠ACB＝180°， 所以A，O，B，C四点共圆． →
不妨设为圆M，因为AB＝b－a， →222
所以AB＝a－2a·b＋b＝12. →
所以|AB|＝23，
由正弦定理可得△AOB的外接圆即圆M的直径为 →|AB|2R＝＝4.
sin∠AOB→
所以当|OC|为圆M的直径时，|c|取得最大值4.
命题点2 平面向量的平行与垂直
→→→→→
例2在平面直角坐标系xOy中，已知向量AB＝(6,1)，BC＝(x，y)，CD＝(－2，－3)，且AD∥BC.
6
(1)求x与y之间的关系式；
→→
(2)若AC⊥BD，求四边形ABCD的面积．
→→→→→
解 (1)由题意得AD＝AB＋BC＋CD＝(x＋4，y－2)，BC＝(x，y)． →→
因为AD∥BC，所以(x＋4)y－(y－2)x＝0， 即x＋2y＝0.
→→→
(2)由题意AC＝AB＋BC＝(x＋6，y＋1)， →→→
BD＝BC＋CD＝(x－2，y－3)． →→因为AC⊥BD，
所以(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0， 即x＋y＋4x－2y－15＝0，
??x＋2y＝0，联立?22
?x＋y＋4x－2y－15＝0，???x＝2，解得?
?y＝－1???x＝2，当?
?y＝－1?
2
2
12
??x＝－6，或?
?y＝3，?
→→
时，AC＝(8,0)，BD＝(0，－4)，
S四边形ABCD＝×AC×BD＝16；
??x＝－6，当?
?y＝3?
→→
时，AC＝(0,4)，BD＝(－8,0)，
S四边形ABCD＝×AC×BD＝16.
所以四边形ABCD的面积为16. 思维升华 (1)求解平面向量模的方法 ①利用公式|a|＝x＋y. ②利用|a|＝a.
(2)求平面向量的夹角的方法 ①定义法：cosθ＝
22
2
12
a·b，θ的取值范围为[0，π]．
|a||b|
x1x2＋y1y2
. 22
x2x21＋y1·2＋y2
②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cosθ＝③解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中．
跟踪训练1(1)(2018·江苏无锡梅村高中模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB＝2，△BCD
7
→→
是等边三角形，若AC·BD＝1，则AD的长为________．
答案
6
解析 取BD的中点H，连结AH，CH，
由△BCD为等边三角形，可得CH⊥BD， →→
由AC·BD＝1，
→→→→→→→可得(AH＋HC)·BD＝AH·BD＋HC·BD
→→1→→→→＝AH·BD＝(AD＋AB)·(AD－AB)
2
1→2→2
＝(AD－AB)＝1， 2→2→2
可得AD＝AB＋2＝4＋2＝6， →
所以|AD|＝6.
(2)已知平面向量α，β满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则α的模的取值范围是________．
?23?答案 ?0，?
3??
解析 设在△ABC中，a＝|β|＝1，A＝60°，|α|＝c， 由正弦定理得＝， sinAsinC则
acasinC23
＝c，即c＝sinC. sinA3
?23?又0 3???23? 则α的模的取值范围是?0，?. 3?? (3)设a，b，c是同一平面内的三个向量，a＝(1,2)． ①若|c|＝25，且c∥a，求c的坐标； 8
