华东理工大学2010–2011学年第二学期
《概率论与数理统计》课程考试试卷 A 2011.7
备用数据：?(1.96)?0.975，?(1.64)?0.95，t0.975(9)?2.262, t0.975(10)?2.228
22?0.025(10)?3.247,?0.975(10)?20.483，F0.975(5,5)?7.15 22t0.975(8)?2.3060,?0.025(8)?2.180,?0.975(8)?17.535。
一、（10分）某种灯具的寿命?具有概率密度：
?10?2,x?10f(x)??x
??0,x?10任取三只这种灯具，问150小时内，三只灯具全部完好的概率是多少？又问150小时内，至少有两
只损坏的概率又是多少？
解：设随机变量?表示三只灯具中损坏的个数，则?~B(3,p)， 2’
150其中 p?P{??150}?3?10101014dx??? 2’ x2x1015150?1?（1）P{??0}????0.0003 3’
?15??14?1?14?（2）P{??2}?C???????0.987 3’
?15?15?15?2323二、（10分）某公司设置一台具有400个分机的电话总机，若每个分机在任一时刻要使用外线通话的概率为10%，而各个分机使用外线与否是相互独立的。试用中心极限定理估计该公司至少需要多少外线才能以95%的概率保证各个分机通话时有足够的外线可供使用？
解：设随机变量?表示要使用外线的分机数， 则?~B(400,0.1),np?40,npq?36，4’ 设k为需要设置的外线数，利用中心极限定理得到
?k?np??k?40?P{??k}????????0.95 4’ ?npq???6????k?40?1.64?k?49.84 2’ 6至少需要50条外线才能以95%的概率保证各个分机通话时有足够的外线可供使用
1
三、 ( 11分 ) 设二维随机变量(X,Y)的密度函数：f(x,y)?? （1）求常数A的值； （本小题2分）
（2）求边缘概率密度fX?x?,fY?y?；（本小题6分） （3）X和Y是否独立? （本小题3分） 解: （1）由
?A,?0,0?x?2,y?x其他
?????f(x,y)dy?1，
x??1/4dy,0?x?2?x/2,0?x?2 ?? f(x,y)dy????x0,其他??其他?0, 得A?1/4 ( 或由均匀分布导出) ---2” (2) fX?x??????? fY?y????????21/4dx,?2?y?0??2?y?/4,?2?y?0???y??f(x,y)dx??21/4dx,0?y?2???2?y?/4,0?y?2
???y0,其他??0,其他?
---2*3”= 6” (3) fX?x?fY?y??f(x,y)，不独立 ------3”
四. ( 11分) 设 (?,?) 的联合密度函数为p(x,y), ??c??? 其中参数c?R的任意实数
??1) 证明 ? 的密度函数为 p?(z)????p(x,z?cx)dx （本小题3分）
2) 设(?,?) 的联合密度函数为p(x,y)???10?x?1,0?y?2x,
其他?0 求 ??-??? 的密度函数 （本小题6分）
1) 证明: ?的分布函为 F?(z)?P{??z}?P{c????z}???z?cxcx?y?z??p(x,y)dxdy
????dx?p(x,y)dy
????' 故, ? 的密度函数为 p?(z)?F?(z)????p(x,z?cx)dx -----5”
2
?1??1dx?1?z?0?1?z?1?z?0??z???? 2) p?(z)??p(x,z?cx)dx??1??1?z0?z?1 ----6”
????1dx0?z?1?0其他??z?其他?0六、选择题（每小题4分，共32分） 1 B
1. 袋中有大小相同的2个白球和4个黑球，现随机地将球从袋中逐一摸出，设第i次摸出白球的概率为pi，则p1与p3的关系为 ( )
(A) p1?p3 (B) p1?p3 (C) p1?p3 (D) 不确定
2．设随机变量的分布函数为F(x)，则??3??1的分布函数G(y)为 （ ） (A) F?2 A 3 C 4 A 5 D 6 D F(y)?1?y?1? (B) (C) （D） F(3y?1)3F(y)?1?33??13,P?AB??P?BC??0,P?AC??，则事件A, B, C 4163．已知P?A??P?B??P?C??全不发生的概率为 （ ） (A)
1379 (B) (C) （D） 441616224. 设总体X~N(?,?)，其中?已知，则当置信水平1??减小时，总体均值?的置信区间长度L的变化情况是 （ ） (A) 缩小 (B) 增大 (C) 不变 （D）不确定
5．设X1,X2,?,X9相互独立，且EXi?1,DXi?1(i?1,2,?,9)，则对任意的??0，下列估计式正确的是 （ ）
?19??9??2?2 (A)P??Xi?1????1??； (B) P??Xi?1????1??；
?9i?1??i?1??9??9??2?2(C) P??Xi?9????1??； (D)P??Xi?9????1?9?
?i?1??i?1?6．设随机变量?，?相互独立，均服从正态分布N(1,4)，则能使P{a??b??1}?1成立 2的选项是 （ ）
3
(A) a?1,b??2 (B)a?1,b?2 (C) a??2,b?1 (D) a?2,b?1.
七、填空题（每空3分，共30分）
1. A、B两袋中都装有3只白球和5只黑球，先从A袋中取出一球放入B袋搅匀，再从B袋中取出一球放回A袋，则A袋中白球数增加的概率为_______；若已知A袋中白球数不变，则第一次从A
52,袋中取出白球的概率为__________。247。
2.设随机变量?与?的联合分布律为
? ? 0 1
已知事件{??0}与{???}相互独立， 则常数a= , b=__________。a?3.设随机变量?~N(?2,4),0 1 1 6a 1 311,b?. 63b ?~U(4?33,4?33),?????0.5，则
E(3?2?2????2?3)?__________。若????0.4，则?与?的相关系数????_____。68,?0.5
4.设X1,X2,?,Xn为取自总体?~N(?,?)的样本，则常数C?_________时，
2?C(Xi?1n?1i?1?Xi)2为?的无偏估计。C?21
2(n?1)2?? ，其中?是未知参数，对?的一组样本观测值(1,0,1,2,1)，?的极2??1?05.设总体?~??1?3????__________。大似然估计值?4 15??,)6.设随机变量?,?相互独立且同服从于U(0,?)，则E?min(??_______，E?max(?,?)??
_________。
?2?33,
4
