函数的定义域
【考纲说明】
1、理解函数的定义域，掌握求函数定义域基本方法。 2、会求较简单的复合函数的定义域。 3、会讨论求解其中参数的取值范围。
【知识梳理】
（1） 定义：定义域是在一个函数关系中所有能使函数有意义的 的集合。 （2） 确定函数定义域的原则
1.当函数y=f(x)用列表法给出时，函数的定义域指的是表格中所有实数x的集合。
2.当函数y=f(x)用图象法给出时，函数的定义域指的是图象在x轴上的投影所覆盖的实数的集合。 3.当函数y=f(x)用解析式给出时，函数定义域指的是使解析式有意义的实数的集合。 4.当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数定义域要使函数有意义，同时还要符合实际情况。 3、.确定定义域的依据：
①f(x)是整式（无分母），则定义域为 ；
②f(x)是分式，则定义域为 的集合； ③f(x)是偶次根式，则定义域为 的集合；
④对数式中真数 ，当指数式、对数式底中含有变量x时，底数 ； ⑤零次幂中， ，即x0中 ；
⑥若f(x)是由几个基本初等函数的四则运算而合成的函数，则定义域是各个函数定义域的 。 ⑦正切函数y?tanx
4、抽象函数的定义域（难点）
??（1）已知f(x)的定义域，求复合函数f[gx]的定义域
由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可
??得其方法为：若f(x)的定义域为x?a,b，求出f[g(x)]中a?g(x)?b的解x的范围，即为f[g(x)]的定义域。 ??（2）已知复合函数f[gx]的定义域，求f(x)的定义域
方法是：若f[g?x?]的定义域为x??a,b?，则由a?x?b确定g(x)的范围即为f(x)的定义域。
（3）已知复合函数f[g(x)]的定义域，求f[h(x)]的定义域
结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由f[g?x?]定义域求得f?x?的定义域，再由f?x?的定义域求得f[h?x?]的定义域。
（4）已知f(x)的定义域，求四则运算型函数的定义域
若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。
【经典例题】
1. （陕西文2）函数f(x)?lg1?x2的定义域为
（A）［0，1］ （B）（-1，1）
2
解析：由1-x>0得-1 2、（06广东卷）函数f(x)?（C）［-1，1］ （D）（-∞，-1）∪（1，+∞） 3x21?x?lg(3x?1)的定义域是 A.(?,??) B. (?,1) C. (?,) D. (??,?) 1313113313解：由??1?x?01???x?1，故选B. 3?3x?1?01?x的定义域为（ ） x?4 Ｃ．(??，1)U(4，??) Ｄ．(??，1]U(4，??) 3. （江西文3）函数f(x)?lg，4) Ａ．(1解析： ，4) Ｂ．[11?x?0?(1?x)(x?4)?0,?1?x?4.选A. x?44. （湖南卷）函数y?log2x?2的定义域是( ) A.(3,+∞) B.[3, +∞) C.(4, +∞) D.[4, +∞) 解：函数y?log2x?2的定义域是log2x?2≥0，解得x≥4，选D. 5、（湖北卷4）函数f(x)?1ln(x2?3x?2??x2?3x?4)的定义域为D xA. (??,?4]U[2,??) B. (?4,0)U(0.1) C. [-4,0)U(0,1] D. [?4,0)U(0,1) 6、（2012高考四川文13）函数f(x)?【答案】(??,). 【解析】根据题意知1?2x?0，x?7、2012高考山东文3】函数f(x)?1的定义域是____________。（用区间表示） 1?2x1211，所以定义域为(??,). 221?4?x2的定义域为 ln(x?1) (A)[?2,0)U(0,2] (B)(?1,0)U(0,2] (C)[?2,2] (D)(?1,2] 【答案】B 【解析】方法一：特值法，当x??2时，f(x)?ln(x?1)无意义，排除A,C.当x?0时，f(0)?ln(0?1)?ln1?0，不能充当分母，所以排除D,选B. ?x?1?0?x??1?? 方法二：要使函数有意义则有?ln(x?1)?0，即?x?0，即?1?x?0或0?x?2，选B. ??2?x?2?4?x2?0??8、已知函数f(x)的定义域为??15，?，求f(3x?5)的定义域． 分析：该函数是由u?3x?5和f(u)构成的复合函数，其中x是自变量，u是中间变量，由于f(x)与 f(u)是同一个函数，因此这里是已知?1≤u≤5，即?1≤3x?5≤5，求x的取值范围． 410解：Qf(x)的定义域为??15，?，??1≤3x?5≤5，?≤x≤． 33?410?故函数f(3x?5)的定义域为?，? ?33?9、已知函数f(x?2x?2)的定义域为?0，3?，求函数f(x)的定义域． 2分析：令u?x2?2x?2，则f(x2?2x?2)?f(u)， 由于f(u)与f(x)是同一函数，因此u的取值范围即为f(x)的定义域． 解：由0≤x≤3，得1≤x2?2x?2≤5． 令u?x2?2x?2，则f(x2?2x?2)?f(u)，1≤u≤5． 故f(x)的定义域为?15，?． 10、若f(x)的定义域为??3，5?，求?(x)?f(?x)?f(2x?5)的定义域． ??3≤?x≤5， 解：由f(x)的定义域为??3解得?4≤x≤0． ，5?，则?(x)必有??3≤2x?5≤5，?所以函数?(x)的定义域为??4，0?． 11、已知函数y?mx2?6mx?m?8的定义域为R求实数m的取值范围。 分析：函数的定义域为R，表明mx2?6mx?m?8?0，使一切x?R都成立，由x2项的系数是m，所以应分m?0或m?0进行讨论。 解：当m?0时，函数的定义域为R； 当m?0时，mx2?6mx?m?8?0是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件是 ?m?0 ?0?m?1 ?2???(?6m)?4m(m?8)?0综上可知0?m?1。 评注：不少学生容易忽略m?0的情况，希望通过此例解决问题。 【课堂练习】 1、（2010全国卷2文数）函数y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是（ ） （A）y=ex?1-1(x>0) (B) y=e-1(x ?R) (D）y=ex?1+1(x>0) +1 (x ?R) (C) y=ex?1x?12、（2010重庆文数）函数y?16?4x的值域是（ ） （A）[0,??) （B）[0,4] （C）[0,4) （D）(0,4) 3、（2010山东文数）函数f?x??log23?1的值域为（ ） x??A. ?0,??? B. ??1,??? ?0,??? C. ?1,??? D. ?4、（2010广东文数）函数f(x)?lg(x?1)的定义域是（ ） A.(2,??) B. (1,??) C. [1,??) D. [2,??)
