②当OT⊥BC时，过点T作TH⊥x轴， OT＝
12， 5∵∠BOT＝∠BCO，
3OHcos?BOT＝=∴512，
536∴OH＝，
25∴T??3648?，? 2525??∴BT＝
16； 516． 5综上所述：BT＝2或BT＝
【点睛】
本题是一道综合题，考查了二次函数一次函数和三角形相关的知识，能够充分调动所学知识是解题的关键.
类型三 【确定三角形、四边形的面积最值或符合条件的点的坐标】
【典例指引3】（2019·甘肃中考真题）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，
0），与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；（3）最大值为【解析】 【分析】
（1）用交点式函数表达式，即可求解；
（2）分当AB为平行四边形一条边、对角线，两种情况，分别求解即可； （3）利用S四边形AEBD＝【详解】
解：（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3； 故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）①当AB为平行四边形一条边时，如图1，
393 ，E（，﹣） ．4241AB（yD﹣yE），即可求解． 2
则AB＝PE＝2， 则点P坐标为（4，3），
当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形， 故：点P（4，3）或（0，3）；
②当AB是四边形的对角线时，如图2，
AB中点坐标为（2，0）
设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为：即：
m?2
， 2
m?2
＝2，解得：m＝2， 2
故点P（2，﹣1）；
故：点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）； （3）直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
设点E坐标为（x，x2﹣4x+3），则点D（x，﹣x+3）， S四边形AEBD＝
1AB（yD﹣yE）＝﹣x+3﹣x2+4x﹣3＝﹣x2+3x， 2∵﹣1＜0，故四边形AEBD面积有最大值， 当x＝
3933，其最大值为，此时点E（，﹣）．
4224【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 【举一反三】
（2019·内蒙古中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y?ax?bx?2(a?0)与x轴交于
2A??1,0?），B?3,0?两点，与y轴交于点C，连接BC．
（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；
（2）点D为抛物线对称轴上一点，连接CD、BD，若?DCB??CBD，求点D的坐标；
（3）已知F?1,1?，若E?x,y?是抛物线上一个动点（其中1?x?2），连接CE、CF、EF，求?CEF面积的最大值及此时点E的坐标．
（4）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y??22449?1??755?D1,Ex?x?2，对称轴x?1；23（）?（）面积有最大值是，?,?；?；
3348?4??424?（4）存在点M使得以B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形，M?2,2?或M?4,???10??或3?10??M??2,??.
3??【解析】 【分析】
（1）将点A（-1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+2即可；
（2）过点D作DG⊥y轴于G，作DH⊥x轴于H，设点D（1，y），在Rt△CGD中，CD2=CG2+GD2=（2-y）
2
+1，在Rt△BHD中，BD2=BH2+HD2=4+y2，可以证明CD=BD，即可求y的值；
（3）过点E作EQ⊥y轴于点Q，过点F作直线FR⊥y轴于R，过点E作FP⊥FR于P，证明四边形QRPE