专题一 集合，常用逻辑用语，不等式，函数与导数（讲案）
第二讲 函数与导数
【最新考纲透析】预计时间：3.13---3.18
1.函数与基本初等函数的主要考点是：函数的表示方法、分段函数、函数的定义域和值域、函数的单调性、函数的奇偶性、指数函数与对数函数的图象与性质、幂函数的图象与性质。本部分一般以选择题或填空题的形式出现，考查的重点是函数的性质和图象的应用，重在检测对该部分的基础知识和基本方法的掌握程度。复习该部分以基础知识为主，注意培养函数性质和函数图象分析问题和解决问题的能力。
2.导数是高中数学知识的一个重要的交汇点，命题范围非常广泛，为高考考查函数提供了广阔天地，处于一种特殊的地位，不但一定出大题而相应有小题出现。主要考查导数有关的概念、计算和应用。利用导数工具研究函数的有关性质，把导数应用于单调性、极值等传统、常规问题的同时，进一步升华到处理与自然数有关的不等式的证明，是函数知识和不等式知识的一个结合体，它的解题又融合了转化、分类讨论、函数与方程、数形结合等数学思想与方法，不但突出了能力的考查，同时也注意了高考重点与热点，这一切对考查考生的应用能力和创新意识都大有益处。
3.解决函数与导数结合的问题，一般有规范的方法，利用导数判断函数的单调性也有规定的步骤，具有较强的可操作性．高考中，函数与导数的结合，往往不是简单地考查公式的应用，而是与数学思想方法相结合，突出考查函数与方程思想、有限与无限思想等，所考查的问题具有一定的综合性．在一套高考试卷中一般有2-3个小题有针对性地考查函数与导数的重要知识和方法，有一道解答题综合考查函数与导数，特别是导数在研究函数问题中的应用，这道解答题是试卷的把关题之一． 【考点精析】
题型一 函数的概念、图象与性质
?sin(?x2)(?1?x?0)例1 (1)函数f(x)??，若f(1)?f(a)?2，则的所有可能值为x?1x?0?e( )
A．1 ，?2222 B．? C．1 ，? D．1 ， 2222分析：解答本题可根据已知条件确定的值，利用分类讨论思想求解。
点评：关于分段函数的求值问题，要注意以下两点：(1)依据条件，准确地找出利用哪一段函数求解。(2)若含有参数(字母)，通常要分类讨论，此时要注意函数的定义域与对应法则。 (2) (2009·江西理)函数y?ln(x?1)?x?3x?42的定义域为 ( )
A．(?4,?1) B．(?4,1) C．(?1,1) D．(?1,1] 分析：考查函数的定义域的求法，较为综合，有根式，分母，真数的意义。
点评：求解函数的定义域一般应遵循以下原则：①f(x)是整式时，定义域是全体实数；②f(x)是分式时，分母不为零；③f(x)为偶次根式时，被开方数非负；对数函数的真数
大于零；④由实际问题确定的函数，其定义域要符合实际意义。
(3) 设函数f(x)?|x?1|?|x?a|的图象关于直线x?1对称，则a的值为（ ）
A． 3 B． 2 C．1 D．?1
分析：利用“零点分区”的方法去绝对值，化为分段函数。
点评：本题考查对带有绝对值的函数的理解和分析问题的能力。实际是带有绝对值的函数是一个分段函数，题目给出的是一个三段的函数，解题的关键是用“零点分区“去掉绝对值后，对各段上函数解析式的认识。 变式训练1：
x(1) 已知函数f(x)满足：x?4，则f(x)＝()；当x?4时f(x)＝f(x?1)，则
12＝ ( )A．f(2?log23)1113 B． C． D． 241288 (2) 已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x?4)??f(x),且在区间[0,2]上是增函数，则( ) A.f(?25)?f(11)?f(80) B. f(80)?f(11)?f(?25) C. f(11)?f(80)?f(?25) D. f(?25)?f(80)?f(11) 题型二 基本初等函数的性质与应用 例2 已知函数f(x)?2?x1。⑴ 若f(x)?2，求x的值；⑵ 若2tf(2t)?mf(t)?0对x2于t??1,2?恒成立，求实数m的取值范围。
分析：本题考查即函数方程和用函数最值知识证明恒等式的思想，解题时关键是把恒成立问题转化为函数的最值。 点评：解决有关指数函数问题，要注意结合指数函数的图象与性质，尤其是解决综合问题时，对于指数式恒大于零要牢记。对于指数方程与不等式问题可以分别转化为有理方程与有理不等式，转化时可用化同底、取对数、换元等方法去解决。
变式训练2：已知函数f(x)?log2(x?1)，当点(x,y)在y?f(x)的图象上运动时，点
xy(,)是y?g(x)图象上的点。 32(1)求y?g(x)的表达式； (2)当g(x)?f(x)时，求x的取值范围 题型三 函数与方程及函数模型的应用
例3 设函数f(x)??13x?x2?(m2?1)x,(x?R,)其中m?0，若函数f(x)有三3个互不相同的零点0，x1,x2，且x1?x2。若对任意的x?[x1,x2]，f(x)?f(1)恒成立，
求m的取值范围。
分析：首先根据函数的零点式把函数式分解因式，根据根的分布规律确定根的范围，然后再结合解题目标进行分类讨论，最后把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题。
点评：本小题主要考查函数与方程的根的关系解不等式等基础知识，考查综合分析问题和解决问题的能力。
变式训练3：函数f?x??mx2?2x?1有且仅有一个正实数的零点，则实数m的取值范围是 A．???,1? B．???,0?题型四 导数及其应用
例4 已知函数f(x)?lnx??1? C．???,0??0,1? D．???,1?
a， x（1）当a?0时，判断f(x)在定义域上的单调性； （2）若f(x)在[1,e]上的最小值为
3，求a的值； 2（3）若f(x)?x2在(1,??)上恒成立，求a的取值范围．
分析：（1）通过判断导数的符号解决；（2）确立函数的极值点，根据极值点是不是在区间[1,e]上确立是不是要进行分类讨论和分类讨论的标准；（3）由于参数a是“孤立”的，可以分离参数后转化为一个函数的单调性或最值等解决． 点评：本题前两问是借助于导数和不等式这两个工具研究函数的性质，地三问是借助于 导数研究不等式，这是目前课标区高考中函数导数解答题的主要命题模式．求一个函数在一个指定的闭区间上的最值的主要思考方向就是考虑这个函数的极值点是不是在这个区间内，结合函数的单调性确立分类讨论的标准．本题第三问实际上是对函数g?x?两次求导，也要注意这个方法．
变式训练4：已知函数f(x)?x?ax?3x。
(1) 若f(x)在x?[1,??)上是增函数，求实数a的取值范围；
(2) 若x?3是f(x)的极值点，求f(x)在x?[1,a]上的最小值和最大值。
'分析：第(1)问由f(x)在上是增函数，即f(x)?0在x?[1,??)上恒成立，可求出a的取'值范围；第(2)问先f(3)?0由求出a的值，再求f(x)在[1,a]上的最大值和最小值。
32点评：本题的难点是求函数在区间上的最小值和最大值。研究函数在区间上的最值问题，首先要研究函数的单调性，找到函数的单调区间，然后将已知区间放到函数的单调区间中去讨论。如果所给区间在两个不同的单调区间上，还需要比较端点处函数值的大小，才能得到函数的最值，这一点是容易出错的地方，应该引起重视。 考点五 考查和数形结合的有关问题
?|lg|x?1||,x?1例5．设定义域为R的函数f(x)??，则关于x的方程f2(x)?bf(x)?c?00,x?1?有7个不同实数解的充要条件是（ ）
（A）b?0且c?0 （B）b?0且c?0 （C）b?0且c?0 （D）b?0且c?0
分析：此题是复合函数解的问题，常用数形结合法，与零点问题可以比较一下。
点评：如果不借助于图形，试图通过研究方程式来得出结果是很困难的．当然在利用数形结合思想解题时，作图一定要规范和准确．
2??， x≥2，
变式训练5：已知函数f(x)＝?x??x－3， x＜2.个不同的实根，则实数k的取值范围是________． 考点六 抽象函数问题
例6．f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)?0，则方程f(x)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
分析：抽象函数应多考虑一此函数性质。
点评：本题考查的是函数周期性、奇偶性和方程根的综合问题．
变式训练6：设g(x)是定义在R上，以1为周期的函数，若f(x)?x?g(x)在[0,1]上的值域为[?2,5]，则f(x)在区间[0,3]上的值域为 。
考点七 函数与导数的应用题
例7．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x(cm)
（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？
（2）若厂商要求包装盒的容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。
32
若关于x的方程f(x)＝k有两
D
C P AxEFxB
