课 题： 第04课时 绝对值三角不等式 教学目标：
1：了解绝对值三角不等式的含义，理解绝对值三角不等式公式及推导方法， 会进行简 单的应用。
2：充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合的数
学思想，并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明。
教学重点：绝对值三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运用。 教学难点：绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件。 教学过程： 一、复习引入：
关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。本节课探讨不等式证明这类问题。
1．请同学们回忆一下绝对值的意义。
?x，如果x?0? x??0，如果x?0。
??x，如果x?0? 几何意义：在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。
2．证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：
（1）a?a，当且仅当a?0时等号成立，a??a.当且仅当a?0时等号成立。
2（2）a?a， （3）a?b?a?b， （4）
ab?a(b?0) b那么a?b?a?b?a?b?a?b? 二、讲解新课：
结论：a?b≤a?b（当且仅当ab≥0时，等号成立.）
已知a,b是实数，试证明：a?b≤a?b（当且仅当ab≥0时，等号成立.） 方法一：证明:1 .当ab≥0时, 2. 当ab<0时,
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探究: a,b,a?b, a?b之间的什么关系?
ab??|ab|,ab?|ab|,|a?b|?(a?b)2?a2?2ab?b2?|a|2?2|a||b|?|b|2?(|a|?|b|)2?|a|?|b||a?b|?(a?b)2?a2?2ab?b2?|a|2?2|ab|?|b|2?|a|2?2|a||b|?|b|2?(|a|?|b|)2?|a|?|b|综合1, 2知定理成立.
方法二：分析法，两边平方（略）
定理1 如果a,b是实数，则a?b≤a?b（当且仅当ab≥0时，等号成立.）
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??（1）若把a,b换为向量a,b情形又怎样呢？
a?ba
根据定理1，有a?b??b?a?b?b，就是，a?b?b?a。 所以，a?b?a?b。 定理（绝对值三角形不等式）
如果a,b是实数，则a?b≤a?b≤a?b 注：当a,b为复数或向量时结论也成立. 推论1：a1?a2?aba?b?an≤a1?a2??an
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推论2：如果a、b、c是实数,那么a?c≤a?b?b?c,当且仅当(a?b)(b?c)≥0时,等号成立.
思考：如何利用数轴给出推论2的几何解释？
（设A，B，C为数轴上的3个点，分别表示数a，b，c，则线段AB?AC?CB.当且仅当C在A，B之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的，取c＝0（即C为原点），就得到例2的后半部分。） 三、典型例题：
例1、已知 x?a?cc,y?b?，求证 (x?y)?(a?b)?c. 22证明 (x?y)?(a?b)?(x?a)?(y?b) ?x?a?y?b （1）
?x?a?cc,y?b?， 22cc∴x?a?y?b???c （2）
22由（1），（2）得：(x?y)?(a?b)?c
例2、已知x?aa,y?. 求证：2x?3y?a。 46aaaa证明 ?x?,y?，∴2x?,3y?，
4622aa由例1及上式，2x?3y?2x?3y???a。
22注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用
于不等号方向相同的不等式。
例3 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个地点分别位于公路路碑的第10公里和第20公里处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程之和最小,生活区应该建于何处?
解：如果生活区建于公路路碑的第 x km处，两施工队每天往返的路程之和为S(x)km 那么 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)
·10四、课堂练习：
·x·20
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1.(课本P20习题1.2第1题)求证:
⑴a?b?a?b≥2a;⑵a?b?a?b≤2b 2. (课本P19习题1.2第3题)求证:
⑴x?a?x?b≥a?b;⑵x?a?x?b≤a?b 3．（1）、已知A?a?cc,B?b?.求证：(A?B)?(a?b)?c。 22cc（2）、已知x?a?,y?b?.求证：2x?3y?2a?3b?c。
46五、课堂小结：
1．实数a的绝对值的意义:
?a(a?0)?⑴a??0(a?0);（定义）
??a(a?0)?⑵a的几何意义:
2．定理（绝对值三角形不等式）
如果a,b是实数，则a?b≤a?b≤a?b注意取等的条件。 六、课后作业：课本P19第2，4，5题
七．教学后记：
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