x2y23?1(a?3)与直线y?20．已知右焦点为F的椭圆M:2?相交于P、Q两点，
a37且PF?QF． （1）求椭圆M的方程；
（2）O为坐标原点，A，B，C是椭圆E上不同的三点，并且O为△ABC的重心， 试探究△ABC的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
21. 已知函数f?x??x2?2x?alnx?a?0?.
（1）当a?2时，试求函数图像过点?1,f?1??的切线方程；
（2）若函数f?x?有两个极值点x1、x2?x1?x2?，且不等式f?x1??mgx2恒成立， 试求实数m的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
?x?2?cos?22.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?（??y?2?sin?为参数），直线C2的方程为y?3x，以O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系， （1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程； （2）若直线C2与曲线C1交于A,B两点，求
11?. |OA||OB|23.【不等式选讲】已知f?x??x?3?x?1， g?x??x?1?x?a?a. （1）解不等式f?x??6；
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（2）若不等式f?x??g?x?恒成立，求实数a的取值范围.
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参考答案
1．B 2．D 3．C 4．B 5．C 6．A，7．A 8．A 9．C 10．C 11.D 12.D
?5?113．?或1 14．?4 15．?,????2?2?v17．（1）a?cosx?3cosx，
?e2?16．?,???
?4?
??133??3vv? f?x??a?b?sinxcosx?3cos2x?sin2x?， cos2x??sin?2x－??22232?? ?f?x?的最大值为1?即x?k??（2）Q??3，此时2x??2k??, 2325?5??? k?z?M?x|x?k??,k?z ?
1212??C?C?5?????M ???k??， C?2k??, QC??0,?? ?C? 24241233Qc?1由c2?b2?a2?2abcosc得c2?a2?b2?ab
??a?b??3ab??a?b??223?a?b?42??a?b?42 ?a?b?2
又Qa?b?1, 故2?a?b?c?3，即周长l的范围为l??2,3?. 18．证明：（Ⅰ）以A为坐标原点AD长为单位长度，如图，建立
空间直角坐标系，则各点为A?0,0,0?， B?0,2,0?， C?0,1,0?， D?1,0,0?，
uuuvuuuvuuuvuuuv1??P?0,0,1?， M?0,1,?，则AP??0,0,1?， DC??0,1,0?，故AP?DC?0，所以
2??AP?DC，由题设知AD?DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC?平面PAD,又DC在平面PCD内,故平面PAD?平面PCD。
uuuvuuuuv（Ⅱ）在MC上取一点N?x,y,z?，则存在??R，使NC??MC，连接AN,BN，
S 数学试题 第 1 页（共 4 页）
uuuvuuuuv?11?NC??1?x,1?y,?z?， MC??1,0,??，所以x?1??， y?1， z??。要使
2?2?uuuvuuuuv144
AN?MC?0，即x?z?0，解得??。可知当??时， N，只要AN?MC255
uuuvuuuuvuuuv?12?uuuv?12??12?点坐标为?,1,?，能使AN?MC?0，此时， AN??,1,?， BN??,?1,?，
5??55??55??5uuuvuuuuvuuuvuuuuvuuuvuuuv3030所以BN?MC?0。由AN?MC?0， AN?， BN?，所以
55uuuvuuuvuuuvuuuv2AN?BN2cosAN,BN?uuuvuuuv??，故所求二面角的余弦值为?。
33AN?BN
19．（Ⅰ）这400名学生中，体重超过60kg的频率为?0.04?0.01??5?1， 41由此估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60kg的概率为.
411（Ⅱ）（ⅰ）∵X～N?57,?2?， P(X?60)?，∴P(X?54)?，
4411111∴P(54?X?60)?1?2??，∴P(54?X?57)???.
42224（ⅱ）因为该市高一学生总体很大，所以从该市高一学生中随机抽取3人，可以视为独立重复实验，
?1?i?1??3?其中体重介于54～57kg之间的人数Y～B?3,?， P?Y?i??C3?????4??4??4?i3?i，
i?0,1,2,3. 所以Y的分布列为
Y P 0 27 641 27 642 9 643 1 64S 数学试题 第 2 页（共 4 页）
