积分中值定理中?n的极限
杨勇洪
（楚雄师范学院数学系2005级2班）
指导老师 郎开禄
摘要：本文讨论了改进后的积分中值定理中?n的极限,获得几个有意义的结果. 关键词：积分；中值定理；极限
The limit of ?n in integral theorem of mean
Yan zilan
Abstract：In this paper, we discussed the limit of ?n in the improvement integral theorem of
mean， several meaningful results are obtained. Key words：Integral；Theorem of mean；limit
导师评语：
在文[1] ([1].郎开禄.积分中值定理注记[J].楚雄师范学院学报，2008，23（6）：7-15.)中讨论了改进后的广义积分中值定理中?n的极限，并获得了两个基本结果,并讨论了其应用.在文[2] ([2].裘兆泰，王承国，章仰文编.数学分析学习指导[M].2004：223-226，272.)中讨论了积分中值定理中?n的极限,获得了几个基本结果.
受文[1]- [2]的启发，在文[1]- [2]的基础上，杨勇洪同学的毕业论文《积分中值定理 中?n的极限》进一步研究改进后的广义积分中值定理中?n的极限,获得了的三个结论(定理 8至定理10),并讨论了其应用.
杨勇洪同学的毕业论文《积分中值定理中?n的极限》选题具有理论与实际意义,通过深入研究,该论文获得了关于积分中值定理中?n的极限的三个结论,并讨论其应用.该论文完成有 一定的技巧性和难度,其结果在理论与实际上都有重要意义.论文语言流畅,打印行文规范 ,是一篇创新型的毕业论文.该同学在作论文过程中，悟性好，爱钻研，能吃苦，独立性强.
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积分中值定理中?n的极限
前 言
改进后的积分中值定理指出，若Fn(x)在[a,b]连续，则至少存在一点?n?(a,b)，使得
?baFn(x)dx?Fn(?n)(b?a)(n?1,2?).此时?n取值于(a,b)内，但随n的变化而变化，若
n??lim?n存在，则lim?n有可能等于a，或b.若这种情况出现，在应用积分中值定理求极限
n??时应特别小心（见文[1]）.
改进后的广义积分中值定理指出，若Fn(x)在[a,b]连续，则至少存在一点?n?(a,b)，使得
bab?Fn(x)g(x)dx?Fn(?n)?g(x)dx(n?1,2?). 此时?n取值于(a,b)内，但随n的
an??n??变化而变化，若lim?n存在，则lim?n有可能等于a，或b.若这种情况出现，在应用积分中值定理求极限时也应特别小心. 在文[2]中，讨论了改进后的积分中值定理中?n的极限并获得了几个基本结果，文[1]受文[2]的启发，讨论了改进后的广义积分中值定理中?n的极限，获得了两个基本结果.在本文中，我们改进了文[1]中的一个结果的条件，获得了文[1]中同样的结果，并讨论了其应用.
1 积分中值定理
定理1（积分中值定理）若函数f(x)在闭区间[a,b]连续，则至少存在一点??[a,b]，使得
?3?ba?f(x)dx?f(?)(b?a).
?3?定理2
（广义积分中值定理）若函数f(x)与g(x)在闭区间[a,b]连续，且g(x)在
bbaa[a,b]不改变符号，则至少存在一点??[a,b]，使得?f(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx.
?在闭区间[a,b]中取到， 定理1和定理2表明，故就有可能取左端点a，或取右端点b，
也有可能在开区间(a,b)中取到.
2 改进后的积分中值定理
定理3
?4?,?5?（积分中值定理）若函数f(x)在闭区间[a,b]连续，则至少存在一点
ba??(a,b)，使得?f(x)dx?f(?)(b?a).
定理4
?4?,?5?（广义积分中值定理）若函数f(x)与g(x)在闭区间[a,b]连续，且g(x)在
bbaa[a,b]不改变符号，则至少存在一点??(a,b)，使得?f(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx.
定理3和定理4表明，?一定能在开区间(a,b)中取到.
3 积分中值定理中?n的极限
2
关于积分中值定理中?n的极限，在文[2]中，有下列结果： 定理5
?2? (1) 设f(x)在[a,b]是非负、严格递增连续函数，记Fn(x)?fn(x)，由改
进后的积分中值定理，即由定理3，至少存在一点?n?(a,b)，使得
?则lim?n?b.
n??baFn(x)dx?Fn(?n)(b?a)，
(2) 设f(x)在[a,b]是非负、严格递减连续函数，记Fn(x)?fn(x)，由改进后的积分中值定理，即由定理3，至少存在一点?n?(a,b)，使得
?则lim?n?a.
n??baFn(x)dx?Fn(?n)(b?a)，
推论
?2? 设f(x)在[a,b]是非负、连续函数，且在[a,b]有唯一的最大值点x0，
Fn(x)?fn(x)，由改进后的积分中值定理，即由定理3，至少存在一点?n?(a,b)，使得
?则lim?n?x0.
n??baFn(x)dx?Fn(?n)(b?a)，
关于积分中值定理中?n的极限，在文[1]中，有下列结果： 定理6
?1? 设f(x)在[a,b]是连续函数，g(x)在[a,b]是非负、严格递减连续函数，则
bna?g(x)dx??(1) lim?0(0???b?a)；
?g(x)dxn??bna(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点?n?(a,b)，使得
?则limf(?n)?f(a).
n??baf(x)g(x)dx?f(?n)?gn(x)dx，
anb定理7
?1? 设f(x)在[a,b]是连续函数，g(x)在[a,b]是非负、严格递增连续函数，若
存在[a,b]上的非负、严格递减连续函数h(x)，使得
g(b??)?h(a??)(0???b?a)，?g(x)dx??hn(x)dx，
aabnb则
(1) limn????b??abagn(x)dxn?0(0???b?a)；
g(x)dxbab(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点?n?(a,b)，使得
?则limf(?n)?f(b).
n??f(x)gn(x)dx?f(?n)?gn(x)dx，
a关于积分中值定理中?n的极限，在本文中，我们去掉了定理7中“若存在[a,b]上 的非负、严格递减连续函数h(x)，使得g(b??)?h(a??)(0???b?a)，
3
?bagn(x)dx??hn(x)dx”的条件，获得了定理7同样的结论.
ab定理8 设f(x)在[a,b]是连续函数，g(x)在[a,b]是非负、严格递增连续函数，则 (1) limn????b??abagn(x)dxn?0(0???b?a)；
g(x)dxbab(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点?n?(a,b)，使得
?且limf(?n)?f(b).
n??f(x)g(x)dx?f(?n)?gn(x)dx，
an证明：(1) 因为
0???b??abagn(x)dxn??b??agn(b??)dx?2g(x)dx?bb?g(x)dxn
(b?a??)gnb(??)b(?a??gn)b?(?) ??b???nng(b?)dxgb(??)??b?2222??2(b?a??)?g(b??)????，
????g(b?)???2??????g(b??)??g(b??)???0， ??1，故lim?又 0??n???g(b??)??g(b??)?????2??2??于是
nnlimn????b??abagn(x)dxn?0.
g(x)dx(2) 由于f(x)在b连续，则f(x)在b左连续，故???0，存在??0(0???b?a)，使得
f(x)?f(b)??2，x?[b??,b].
又由广义积分中值定理，至少存在点?n?(a,b)，?n?(a,b??)，?n?(b??,b)， 使得
???baf(x)g(x)dx?f(?n)?gn(x)dx，
anb 4
