导数
一、导数的概念
函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量?x，那么函数y相应地有增量?y=f（x0+?x）－f（x0），比值化率，即
?y叫做函数y=f（x）在x0到x0+?x之间的平均变?x?yf(x0??x)?f(x0)?y=。如果当?x?0时，有极限，我们就说函
?x?x?x数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x0处的导数，记作f’（x0）或y’|x?x0。f’(x0)=lim例、 若limf(x0??x)?f(x0)?y=lim。
?x?x?x?0
?x?0
f(x0??x)?f(x0)f(x0?2??x)?f(x0)等于（ ） ?k，则lim?x?0?x?0?x?x1 A．2k B．k C．k D．以上都不是
2变式训练： 设函数f(x)在点x0处可导，试求下列各极限的值．
f(x0??x)?f(x0)；
?x?0?xf(x0?h)?f(x0?h)2．lim.
h?02hf(x0?k)?f(x0)3．若f?(x0)?2，则lim=？
k?02k1．lim二、导数的几何意义
函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率是f’（x0）。
切线方程为y－y0=f/（x0）（x－x0）。
三、导数的运算
1．基本函数的导数公式: ①C??0;（C为常数）
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②xn??nxn?1;
??③(sinx)??cosx; ④(cosx)???sinx; ⑤(ex)??ex; ⑥(ax)??axlna;
1⑦?lnx???;
x1⑧?logax???logae.
x习题：求下列函数的导数：（8分钟独立完成）
（1）f(x)?? （2）f(x)?x4 （3）f(x)?x （4）f(x)?sinx （5）f(x)??cosx （6）f(x)?3x （7）f(x)?ex （8）f(x)?log2x （9）f(x)?lnx （10）f(x)? （12）y?131 （11）y??cosx x44x （13）y?lgx?ex （14）y?x3cosx 1?x2、导数的四则运算法则：
[f(x)?g(x)]??f?(x)?g?(x)
[f(x)?g(x)]??f?(x)?g?(x)[f(x)g(x)]??f?(x)g(x)?f(x)g(x)?
??f(x)?f?(x)g(x)?f(x)g?(x)??g(x)?g2(x)??练习：求下列函数的导数：
（1）y?x2?2x； （2）y?x?lnx；
（3）y?xsinx； （4）y?xlnx。
x2sinx（5）y?； （6）y?。
lnxx3、复合函数求导：
如果函数?(x)在点x处可导，函数f (u)在点u=?(x)处可导，则复合函
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数y= f (u)=f [?(x)]在点x处也可导，并且
(f [?(x)])ˊ= f???(x)???(x) 例、求下列函数的导数
（1）y=1?2xcos x （2）y=ln (x+1?x) 练习：求下列函数的导数 （1）y=
1? （2） y=sin（3x+）
(3x?1)242常考题型：
类型一、求导数相关问题
例1、若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是
________．
例2、曲线y＝xex－1在点(1，1)处切线的斜率等于( )
A．2e B．e C．2 D．1
例3、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )
A．0 B．1 C．2 D．3
类型二、求切线方程
（一）已知切点坐标，求切线方程
例1.曲线y?x3?3x2?1在点(1，?1)处的切线方程 （二）已知切点斜率，求切线方程
例2.与直线2x?y?4?0的平行的抛物线y?x2的切线方程 （三）已知曲线外一点，求切线方程
例3.求过点(2，0)且与曲线y?相切的直线方程． （四）已知曲线上一点，求过该点的切线方程
例4.求过曲线y?x3?2x上的点(1，?1)的切线方程．
变式训练：
1、[2014·广东卷] 曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________． 2、[2014·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b3 / 8 1xbx的值是________．
x2?1相切的直线方程 3、与直线x?y?1＝0平行, 且与曲线y＝3类型三、求单调区间及极值、最值
考点一 求不含参数的函数的单调区间
例1.求函数y=x2(1－x)3的单调区间. 变式训练：
1.函数y?xlnx的单调递减区间是（ ）
A．(e?1,??)
B．(??,e?1)
C．(0,e?1)
D．(e,??)
2.(05年广东高考题)函数f(x)?x3?3x2?1是减函数的区间为( ) （Ａ）(2,??)（Ｂ）(??,2)（Ｃ）(??,0)（Ｄ）(0,2)
考点二 求含参数的函数的单调区间
考例1、已知函数 f(x)?f(x) 的单调性.
12x?mlnx?(m?1)x，m?R．当 m?0 时，讨论函数 2例2、设函数f(x)= 2x3?3(a?1)x2?1,其中a?1.
求f(x)的单调区间；
例3、设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a?--1，求f(x)的单调区间。 变式训练：
x－1
1、[2014·山东卷] 设函数f(x)＝aln x＋，其中a为常数．
x＋1(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)讨论函数f(x)的单调性． 2、【2014·安徽卷】设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0. (1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；
考点三：利用单调区间求未知参数取值范围：
例1、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．(－∞，－1] C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)
例2、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在
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