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[高考基础题型得分练]
1．[2017·辽宁沈阳模拟]已知曲线C1的极坐标方程为ρcos 2θ＝8，曲线C2的极坐π
标方程为θ＝，曲线C1，C2相交于A，B两点．
6
(1)求A，B两点的极坐标； 3
?x＝1＋t，?2
(2)曲线C与直线?
1y＝??2t1
2
(t为参数)分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．
2
ρcos 2θ＝8，??
解：(1)由?π
θ＝，?6?
π2
得ρcos ＝8，
3
所以ρ＝16，即ρ＝±4.
π??π??所以A，B两点的极坐标为A?4，?，B?－4，?或
6??6??
2
B?4，
?
?
7π?. 6??
(2)由曲线C1的极坐标方程得其直角坐标方程为
x2－y2＝8，
3?x＝1＋t，?2将直线?
1y＝t??2
2
2
代入x－y＝8，
22
整理得t＋23t－14＝0， 即t1＋t2＝－23，t1·t2＝－14， 所以|MN|＝
－23－－＝217.
1
?x＝－3＋3t，
2．[2017·吉林实验中学模拟]已知椭圆C：＋＝1，直线l：?
43?y＝23＋tx2y2
为参数)．
(1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；
(t(2)设A(1,0)，若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等，求点P的坐标．
?x＝2cos θ，
解：(1)椭圆C的参数方程为?
?y＝3sin θ
直线l的普通方程为x－3y＋9＝0. (2)设P(2cos θ，3sin θ)， 则|AP|＝
θ－
2
2
(θ为参数)，
＋3sin θ＝2－cos θ，
P到直线l的距离 d＝|2cos θ－3sin θ＋9|2cos θ－3sin θ＋9
＝.
22
由|AP|＝d，得3sin θ－4cos θ＝5， 又sinθ＋cosθ＝1， 34
得sin θ＝，cos θ＝－.
55
2
2
?833?
故P?－，?.
?55?
??x＝2＋t，
3．已知曲线C：＋＝1，直线l：?
49?y＝2－2t?
x2y2
(t为参数)．
(1)写出曲线C的参数方程和直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
??x＝2cos θ，
解：(1)曲线C的参数方程为?
?y＝3sin θ?
(θ为参数)．
直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.
(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为
d＝5
|4cos θ＋3sin θ－6|. 5
d254
则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|其中α为锐角，且tan α＝，
sin 30°53
2
225
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.当sin(θ＋α)＝1时，|PA|
525
取得最小值，最小值为.
5
4．[2017·河南洛阳模拟]极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为
??x＝2＋tcos α，
极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为?
??y＝tsin α
(t为参数)．曲
线C的极坐标方程为ρsinθ＝8cos θ.
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，与x轴的交点为F，求解：(1)由ρsinθ＝8cos θ，得ρsinθ＝8ρcos θ， ∴曲线C的直角坐标方程为y＝8x. (2)易得直线l与x轴的交点为F(2,0)， 将直线l的方程代入y＝8x， 得(tsin α)＝8(2＋tcos α)， 整理得sinα·t－8cos α·t－16＝0. 由已知sin α≠0，
Δ＝(－8cos α)－4×(－16)sinα＝64＞0， 8cos α16
∴t1＋t2＝，tt＝－＜0， 1222
sinαsinα故
1?11??t1－t2? ＋＝?－?＝??|AF||BF|?t1t2??t1t2?1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
＋的值． |AF||BF|
1
＝
t1＋t2－4t1t2
＝
|t1t2|
2
α?64?8cos
?sin2α?2＋sin2α??
16
2sinα
1＝. 2
[冲刺名校能力提升练]
1．[2017·辽宁五校联考]倾斜角为α的直线l过点P(8,2)，直线l和曲线C：
?x＝42cos θ，?
?y＝2sin θ
(θ为参数)交于不同的两点M1，M2.
(1)将曲线C的参数方程化为普通方程，并写出直线l的参数方程； (2)求|PM1|·|PM2|的取值范围． 解：(1)曲线C的普通方程为
＋＝1， 324
x2y2
3
??x＝8＋tcos α，
直线l的参数方程为?
?y＝2＋tsin α?
(t为参数)．
(2)将l的参数方程代入曲线C的方程得， (8＋tcos α)＋8(2＋tsin α)＝32，
整理得(8sinα＋cosα)t＋(16cos α＋32sin α)t＋64＝0， 由Δ＝(16cos α＋32sin α)－4×64(8sinα＋cosα)>0，
2
2
2
2
2
2
2
2
?π?得cos α>sin α，故α∈?0，?，
4??
∴|PM1|·|PM2|＝|t1t2| ＝
64?128，64?.
∈??2
1＋7sinα?9?
π??2．[2017·山西模拟]在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝42sin?θ＋?.现
4??以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为1
x＝－2＋t，?2??3y＝－3＋t??2
(t为参数)．
(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)设直线l和曲线C交于A，B两点，定点P(－2，－3)，求|PA|·|PB|的值． π??解：(1)ρ＝42sin?θ＋?＝4sin θ＋4cos θ，
4??所以ρ＝4ρsin θ＋4ρcos θ， 所以x＋y－4x－4y＝0， 即(x－2)＋(y－2)＝8.
直线l的普通方程为3x－y＋23－3＝0.
(2)把直线l的参数方程代入到圆C：x＋y－4x－4y＝0中，得t－(4＋53)t＋33＝0， 设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t2＝33. 点P(－2，－3)显然在直线l上， 由直线标准参数方程下t的几何意义知， |PA|·|PB|＝|t1t2|＝33， 所以|PA|·|PB|＝33.
3．[2017·吉林长春模拟]以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，已知π?π?点P的直角坐标为(1，－5)，点C的极坐标为?4，?，若直线l过点P，且倾斜角为，
2?3?
2
2
2
2
2
2
22
4
