圆 幂 定 理
⊙O中，割线PB当点P在圆内时，如延长P'O交⊙O于交⊙O于A，CD图，有P'C·P'D＝r2M，延长OP'交⊙O为弦 －OP'2 于N，用相交弦定
理证；
当点P在圆外时，如
图PA·PB＝OP2－r2 过P作切线用切割r为⊙O的半径 线定理勾股定理证
过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为
叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
【典型例题】
例1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，
切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。
解：由切线长定理知：AF＝AB＝1，EF＝CE 设CE为x，在Rt△ADE中，由勾股定理 ∴
，
例2.⊙O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝_________cm。 解：由相交弦定理，得 AE·BE＝CE·DE
∵AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm， ， ∴
，
， 图1
即
∴CE＝3cm或CE＝4cm。 图2 故应填3或4。
点拨：相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍。
例3.已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，则 解：∵∠P＝∠P，∠PAC＝∠B，∴△PAC∽△PBA， ∴
， ∴
。
________。
又∵PA是圆的切线，PCB是圆的割线，由切割线定理，得
5
∴，即 ， 故应填PC。 点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论。
例4.如图4，P是⊙O外一点，PC切⊙O于点C，PAB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，如果PA：PB＝1：4，PC＝12cm，⊙O的半径为10cm，则圆心O到AB的距离是___________cm。
解：∵PC是⊙O的切线，PAB是⊙O的割线，且PA：PB＝1：4
∴PB＝4PA 又∵PC＝12cm，由切割线定理，得
∴∴，∴ ∴PB＝4×6＝24（cm）
∴AB＝24－6＝18（cm） 图4 设圆心O到AB距离为d cm， 由勾股定理，得
故应填
。
例5.如图4，AB为⊙O的直径，过B点作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC
于点D，（1）求证：
；（2）若AB＝BC＝2厘米，求CE、CD的长。
点悟：要证，即要证△CED∽△CBE。 （分析法，从结论出发，提出要准备的东西） 证明：（1）连结BE
（2）
图 5
。
又∵
，
∴厘米。
点拨：有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件。
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例6.如图6，AB为⊙O的直径，弦CD∥AB，AE切⊙O于A，交CD的延长线于E。 求证： 证明：连结BD， ∵AE切⊙O于A，∴∠EAD＝∠ABD ∵AE⊥AB，又AB∥CD，∴AE⊥CD ∵AB为⊙O的直径 ∴∠ADB＝90° ∴∠E＝∠ADB＝90° ∴△ADE∽△BAD 图6 ∴ ∵CD∥AB 例7.如图7，PA、PC切⊙O于A、C，PDB为割线。 求证：AD·BC＝CD·AB
图7 ∴ ∴AD＝BC，∴ 点悟：由结论AD·BC＝CD·AB得 证明：∵PA切⊙O于A，∴∠PAD＝∠PBA 又∠APD＝∠BPA，∴△PAD∽△PBA ∴ ，显然要证△PAD∽△PBA和△PCD∽△PBC 同理可证△PCD∽△PBC ∴ ∴ ∵PA、PC分别切⊙O于A、C∴PA＝PC ∴AD·BC＝DC·AB 例8.如图8，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，以AB边为直径作⊙O，交斜边BC于点D，过D点作⊙O的切线交AC于E。求证：BC＝2OE。 点悟：由要证结论易想到应证OE是△ABC的中位线。（分析法，带有猜想的成分。本题考查切线长定理、双直角模型、等腰三角形、等量代换）而OA＝OB，只须证AE＝CE。 证明：连结OD。 ∵AC⊥AB，AB为直径 ∴AC为⊙O的切线，又DE切⊙O于D ∴EA＝ED，OD⊥DE ∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB 在Rt△ABC中，∠C＝90°－∠B ∵∠ODE＝90°∴ ∴∠C＝∠EDC∴ED＝EC∴AE＝EC ∴OE是△ABC的中位线∴BC＝2OE
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图8 例9.如图9，在正方形ABCD中，AB＝1，
是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。点E
所在圆的切线，交边DC于点F，G
是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作为切点。当∠DEF＝45°时，求证：点G为线段EF的中点；
解：由∠DEF＝45°，得
， ∴∠DFE＝∠DEF ∴DE＝DF 又∵AD＝DC
∴AE＝FC 图9
因为AB是圆B的半径，AD⊥AB，所以AD切圆B于点A；同理，CD切圆B于点C。 又因为EF切圆B于点G，所以AE＝EG，FC＝FG。（切线长定理） 因此EG＝FG，即点G为线段EF的中点。 课堂练习
1.已知：PA、PB切⊙O于点A、B，连结AB，若AB＝8，弦AB的弦心距3，则PA＝（ ） A. B. C. 5 D. 8
2.已知：如图1直线MN与⊙O相切于C，AB为直径，∠CAB＝40°，则∠MCA的度数（ ）
图1
A. 50° B. 40° C. 60° D. 55° 3.圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为（ ） A. 8cm B. 10cm C. 12cm D. 16cm 4.在△ABC中，D是BC边上的点，AD，BD＝3cm，DC＝4cm，如果E是AD的延长线与△ABC的外接圆的交点，那么DE长等于（ ）
A. B. C. D. 5. PT切⊙O于T，CT为直径，D为OC上一点，直线PD交⊙O于B和A，B在线段PD上，若CD＝2，AD＝3，BD＝4，则PB等于（ ）
A. 20 B. 10 C. 5 D.
6. AB、CD是⊙O切线，AB∥CD，EF是⊙O的切线，它和AB、CD分别交于E、F，则∠EOF＝_____________度。
7.已知：⊙O和不在⊙O上的一点P，过P的直线交⊙O于A、B两点，若PA·PB＝24，OP＝5，则⊙O的半径长为_____________。
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