第一讲：切线长定理、弦切角定理、圆幂定理 （2012-3-4）
【定理的介绍】第1课
一、切线长定理：（教材要求）
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 要注意：此定理包含两个结论，如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，①PA=PB②PO平分?APB．
对定理的理解：（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等； （2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
经验总结：圆的外切四边形对边和相等； 圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．
AP
· COBD二、弦切角定理：（补充内容,可用于在圆中找相似三角形）
1．弦切角概念：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。 2．弦切角定理：
弦切角等于它所夹的弦对的圆周角，也可以这样说：弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半． 3．弦切角定理的推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角相等．
解题经验：.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
【典型例题】
例1 已知PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C三点，若PO=13㎝，?PED的周长为24㎝，?APB?40?， 求：①⊙O的半径；②?EOD的度数．
P D B A E C · O 1
例2 如图，⊙O分别切?ABC的三边AB、BC、CA于点D、E、F，若BC?a,AC?b,AB?c． （1）求AD、BE、CF的长；（2）当?C?90?，求内切圆半径r．
A
A B
D · O E
C F F C · O E B
D 例3 如图，⊙O是?ABC的外接圆，?ACB的平分线CE交AB于D，交⊙O于E，⊙O的切线EF 交CB的延长线于F．求证：AE?AD?EF
例4 如图，AB为⊙O的弦，CD切⊙O于P，AC?CD于C，BD?CD于D，PQ?AB于Q． 求证：PQ2?AC?BD
A Q B C P D 2 2
【课堂专练】
1．如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，OP与⊙O相交于点M,以下结论，错误的是（ ） A、OP?AB B、 AM?DM
A · M O BP
C、?APO??BPO D、M是?PAB的外心
2．若⊙O的切线长和半径相等，则两条切线所夹的角的度数为：（ ） A、30? B、45? C、60? D、90? 4．如图，直线BC切⊙O于点A，则图中的弦切角共有（ ） A、2个 B、3个 C、4个 D、6个
5．如图，AB为⊙O的直径，DB、DC分别切⊙O于B、C，若?ACE?25?，则?D为（ ） A、50? B、55? C、60? D、65? 6．圆的外切平行四形一定是 形．
7．圆外切梯形的周长为24cm，则它的中位线的长是 ㎝． 8．如图，AB是⊙O的直径，CE切⊙O于C，CD?AB于D．
B 若?ECB?60?,CD?3，则sinA? ，BD? ． 9．如图，⊙O是?ABC的内切圆，D、E、F为切点，
A C D E ?A:?B:?C?4:3:2，则?DEF? °．?FEC? °．
10．直角三角形的两条直角边为5㎝、12㎝， 则此直角三角形的外接圆半径为 ㎝， 内切圆半径为 ㎝．
11．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G， 且AB∥CD，若OB=6㎝，OC=8㎝，则?BOC? ， ⊙O的半径= ㎝，BE+CG= ㎝． 12．如图，PA、PB是⊙O的切线，AB交OP于点M， 若OM?2cm,AB?PB，则⊙O的半径是 ㎝． B
E C DO · DA F · O GC A E BF · M O BA A · DO C EA C O · BD E BP 3
13．如图，四边形ABCD是直角梯形，以垂直于底的腰AB为直径 的⊙O与腰CD相切于E，若此圆半径为6㎝，梯形ABCD的周长为38㎝， 求梯形的上、下底AD、BC的长．
· O BA DE C
14．如图，AB为⊙O的直径，过B作⊙O的切线，C为切线上一点，连OC交⊙O于点E，AE的延长线交
2BC于D．（1）求证：CE?CD?CB．（2）若AB?BC?2，求CD的长．
A
· O B已知 结论
⊙O中，AB、CDPA·PB＝PC·PD 为弦，交于P
E DC
三．圆幂定理（补充内容）第2课
定理 图形 相 交 弦 定 理
相的 交推 弦论 定 理 切 割 线 定 理 切割线定理推论
⊙O中，AB为直PC2＝PA·PB 用相交弦定理 径，CD⊥AB于P (此处可补充射影定
理)
⊙O中，PT切⊙OPT2＝PA·PB 于T，割线PB交⊙O于A
PB、PD为⊙O的PA·PB＝PC·PD 两条割线，交⊙O于A、C
过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理，等量代换可得。 连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT 证法
连结AC、BD，证：△APC∽△DPB
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