习 题 一
（A）
1、写出下列随机现象的基本事件空间
（1）一次（没有顺序）抛两枚完全相同的硬币，观察每枚硬币出现正面还是反面； （2）先后投两颗骰子，观察每颗骰子出现的点数；
（3）向某目标射击直到命中目标为止，观察射击的次数；
解（1）若?i?“有i枚正面朝上”i?0,1,2，则??{?0,?1,?2) （2）用(x,y)表示“第一次投出x点，第二次投出y点”，则
??{(x,y)x,y?1,2,?,6}
??（3）若?i?“射击i次才命中目标”i?1,2,?，则??{?ii?N，N为自然数集}。
2、在分别标有0,1,?,9数字的10张卡片中任取一张，令A表示事件“抽得一张标号不大于3的卡片”；B表示事件“抽得一张标号为偶数的卡片”；C表示事件“抽得一张标号为奇数的卡片”。请用基本事件表示下列事件：
A?B，AB，B，A?B，B?A，BC，B?C，(A?B)?C
解 令i表示“抽得一张标号为i的卡片”i?0,1,?,9，则 A?{0,1,2,3}，B?{0,2,4,6,8}，C?{1,3,5,7,9}。
因此，A?B?{0,1,2,3,4,6,8}，AB?{0,2}，B?C?{1,3,5,7,9}，A?B?{1,3}，
B?A?{4,6,8}，BC??，B?C??，(A?B)?C?{1,3}
3、某厂生产流水线上甲、乙、丙3部机床是独立工作的，并由一人看管，若用A,B,C分别表示某段时间内甲、乙、丙机床不需要照顾。试用A,B,C表示下列事件:
（1）这段时间内有机床需要看管；（2）这段时间内因机床故障看管不过来而停工。
解 （1）ABC或A?B?C
（2）ABC?ABC?ABC?ABC或AB?AC?BC 4、判断下列结论是否正确
（1）A?B?A?AB?AB （2）(A?B)?B?A
（3）(A?B)?B?A （4）(A?B)?C?A?(B?C) 解 （1）√ （2）× （3）× （4）√
5、先用图示法简化下列各式，在利用定义或运算律证明 （1）(A?B)(B?C) （2）(A?B)(A?B) （3）(A?B)(A?B)(A?B)
解 （1）(A?B)(B?C)?B?AC（图示略） 证明：(A?B)(B?C)?A(B?C)?B(B?C)
?AB?AC?B ?AB?B?AC ?(AB?B)?AC ?B?AC
（2）(A?B)(A?B)?A（图示略）
证明：(A?B)(A?B)?A(A?B)?B(A?B)
?A?BA?BB ?A?BA ?A
1
（3）(A?B)(A?B)(A?B)?AB（图示略）
证明：(A?B)(A?B)(A?B)?(A?B)(AA?AB?BA?BB)
?(A?B)(AB?BA)
?AAB?ABA?BAB?BBA ?AB?AB ?AB
6、先后抛两枚匀称的硬币，求至少出现一个正面的概率。 解 P(A)?3 47、盒中有a个白球，及b个黑球，从中任取n?m（n?a,m?b），求所取的球恰有n个白球和m个黑球的概率。
解 P(A)?nmCaCbn?mCa?b
8、盒中有a个白球，及b个黑球，从中任意接连取k?1次（k?1?a?b），球被取出
后不还原，求最后取出的球是白球的概率。
a a?bPak??b19、 有r封信随机地投入n个邮筒，求下列事件的概率: （1）某指定k(k?r)个邮筒中各只有一封信； （2）有k(k?r)个邮筒中各只有一封信； （3）某指定的一个邮筒中恰有k(k?r)封信.
解 P(A)?1kCaPa?b?1?解 因为每一封信都有n个邮筒可供选择，所以r封信投放到n个邮筒共有n种。 （1）某指定k(k?r)个邮筒中各只有一封信，其可能的总数为Crkk!(n?k)r?k，于是，
所求的概率为
rCrkk!(n?k)r?kP1? rnk（2）有k(k?r)个邮筒中各只有一封信，其可能的总数为CnCrkk!(n?k)r?k，于是，所
求的概率为
kCnCrkk!(n?k)r?kP2?
nrkr?k（3）某指定的一个邮筒中恰有k(k?r)封信，其可能的总数为Cr(n?1)，于是，所
求的概率为
10、从正整数1、2、?、N中有放回地抽取n个数，求抽到的最大数恰好是k的概率 解 “所取数不大于k”与“所取数不大于k?1”的差额即“所取数的最大者k”。 因此，所求的概率
Crk(n?1)r?kP3?
nrkn?(k?1)np?
Nn11、自前n个正整数中随意取出两个数，求两个数之和是偶数的概率p。
解 这是一道古典型概率的题．引进事件A?{取出的两个数之和是偶数}．若n?2k为偶
2
2数，则自前n个正整数中随意取出两个数有C2“取n种不同取法，其中导致事件A的有2Ck种（
到两个偶数”和“取到两个奇数”各C2，因此 k种）
2C2n?2． P(A)?2k?2(n?1)Cn若n?2k?1为奇数，则自前n个正整数中随意取出两个数有C2n种不同取法，其中导致事
2件A的有C2“取到两个偶数”的C2“取到两个奇数”的C2，因此 k种，k?1种）k?Ck?1种（2C22k2n?1k?Ck?1． P(A)???n(n?1)2nC2n于是，两个数之和是偶数的概率为
?n?2，若n为偶数，??2(n?1) p??? n?1 ，若n为奇数．??2n12、从n双不同的手套中任取2k只，求其中恰有2m(m?k)只配成m双的概率。
m2(k?m)2(k?m)CnCn?m2解 p? 2kC2n13、某地铁每隔五分钟有一列车通过，某乘客对列车通过该站时间完全不知道，求该乘客到站等车时间不多于2分钟的概率。
解 设A={每一个乘客等车时间不多于2分钟}，乘客到该站时刻为T?(T1,T2]，T1为前一列车开出时刻，T2为后一列车到达时刻，T2?T1?5，A?(T2?T?2)，由几何概型的概率得
2. 514、设事件A与B互不相容，且P(A)?p，P(B)?q，求P(AB)，P(A?B)，
P(A)?P(AB)，P(AB)
解 P(AB)?0，P(A?B)?p?q，P(AB)?p，P(AB)?1?p?q
15、盒中有10个球，6个白球，4个黑球，从中一次任取3球。求至少有一个白球的概率。
解 记A?“至少有一个白球”，则A?“均为黑球”。
3C429 P(A)?1?P(A)?1?3?C103016、投两颗匀称的骰子,求至少有一颗的点数大于3的概率。
解 记Ai?“第i颗的点数大于3”i?1,2，P(A1)?P(A2)?31?，62321P(A1A2)?2?。
46P(A1?A2)?P(A1)?P(A2)?P(A1A2)?17、设A,B,C为事件,证明:
1113???。 2244P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC) P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)
3
提示：利用两个事件的广义可加性
18、将一枚硬币重复掷n?2k?1次，试求正面出现的次数多于反面出现的次数的概率。 解 设A?{正面出现的次数多于反面}，则A?{正面出现的次数不多于反面}．由于掷的次数n?2k?1是奇数，可见A?{正面出现的次数小于正面}．于是，由对称性知A和A的概率相等：
P(A)?P(A)?1． 219、在某铁路编组站需要编组发往三个不同地区E1，E2和E3的各2节、3节和4节车皮。假设编组的顺序是完全随机的，求发往同一地区的车皮恰好相邻的概率?．
解用乘法公式来解．引进事件：Bi?{发往Ei的车皮相邻}(i?1,2,3)．将发往E1,E2和E3三个不同地区统一编组，且使发往同一地区的车皮恰好相邻的总共有3?=6种不同情形，其中每种情形对应B1,B2和B3的一种排列，且6种排列都是等可能的，因此p?6P(B1B2B3)．由乘法公式，有
P(B1B2B3)?P(B1)P(B2|B1)P(B3|B1B2)?2 !3 !1??1?. 9?87?6?5126061??6P(B1B2B3)???0.0048．
126021020、某市一项调查表明:该市有30%的学生视力有缺陷。7%学生听力有缺陷,3%学生视力与听力都有缺陷,记E?“学生视力有缺陷”，H?“学生听力有缺陷”，EH?“学生视力与听力都有缺陷”。
（1）已知学生视力有缺陷，问他听力有缺陷条件概率； （2）已知学生听力有缺陷，问他视力缺陷条件概率；
（3）随意找一个学生，他视力没有缺陷但听力有缺陷的概率； （4）随意找一个学生，他视力有缺陷但听力没有缺陷的概率； （5）随意找一个学生，他视力和听力都没有缺陷的概率。
P(HE)0.03??0.1
P(E)0.3P(EH)0.033?? （2）P(EH)?P(H)0.077解 （1）P(HE)?（3）P(EH)?P(EH)P(H)?(1?P(EH))P(H)?(1?)?0.07?0.04 （4）P(EH)?P(HE)P(E)?(1?0.1)?0.03?0.27
（5）P(EH)?P(E?H)?1?P(E?H)?1?[P(E)?P(H)?P(EH)]?0.66
21、 10件产品，其中6件合格品，4件次品，从中依次取两次，取后不还原，求第二次才取到正品的概率。
解 令A=“第一次取到正品”，B=“第二次取到正品”，则“第二次才取到正品”=AB P(AB)?P(A)P(B/A)?37464?? 1091522、设10件产品中有4件不合格品，从中任意取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，求另一件也不合格的概率。
解 设Ai任取两件恰有i件不合格品，i?1,2。
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