【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的重心． 【分析】（1）证明：CG交AB于D，如图，设GD=a，根据重心的性质得CG=2DG=2a，根据重心的定义得CD为AB边上的中线，接着根据直角三角形斜边上的中线性质得到CD=AD=BD=3a，则∠1=∠3，再利用等角的余角相等得∠1=∠3，所以∠B=∠3，加上∠ACB=∠AGC=90°，于是根据相似三角形的判定方法得到△CAG∽△ABC；
（2）由点G是△ABC的重心，得到CG=2HG，于是得到HG=CH，求得S△AHG=S△ACH，根据CH为AB边上的中线，于是得到S△ACH=S△ABC，推出S△AHG=得到结论． 【解答】（1）证明：如图，设GH=a， ∵点G是△ABC的重心，
∴CG=2HG=2a，CH为AB边上的中线， ∴CH=AH=BH=3a， ∴∠1=∠3， ∵AG⊥CG， ∴∠2+∠3=90°， 而∠1+∠2=90°， ∴∠1=∠3， ∴∠B=∠3，
而∠ACB=∠AGC=90°， ∴△CAG∽△ABC；
（2）∵点G是△ABC的重心， ∴CG=2HG， ∴HG=CH， ∴S△AHG=S△ACH， ∵CH为AB边上的中线， ∴S△ACH=S△ABC， ∴S△AHG=
S△ABC，
S△ABC，即可
∴S△AGH：S△ABC=1：6．
【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查相似三角形的判定与性质．
24．某水果店出售某种水果，已知该水果的进价为6元/千克，若以9元/千克的价格销售，则每天可售出200千克；若以11元/千克的价格销售，则每天可售出120千克．通过调查验证，我发现每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系． （1）求y（千克）与x（元）（x＞0）的函数关系式；
（2）当销售单价为何值时，该水果店销售这种水果每天获取的利润达到280元？（利润=销售量×（销售单价﹣进价））
（3）该水果店在进货成本不超过720元时，销售单价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用． 【分析】（1）以9元/千克的价格销售，那么每天可售出200千克；以11元/千克的价格销售，那么每天可售出120千克，就相当于直线过点（9，200），（11，120），然后列方程组解答即可；
（2）根据利润=销售量×（销售单价﹣进价）写出方程求出即可；
（3）根据利润=销售量×（销售单价﹣进价）写出解析式，然后利用配方法求最大值，再结合二次函数性质得出答案． 【解答】解：（1）设y（千克）与x（元）（x＞0）的函数关系式为：y=kx+b，
根据题意可得：解得：
．
，
故y（千克）与x（元）（x＞0）的函数关系式为：y=﹣40x+560；
（2）∵W=280元，
∴280=（﹣40x+560）×（x﹣6） 解得：x1=7，x2=13．
答：当销售单价为7元或13元时，每天可获得的利润达到W=280元；
（3）∵利润=销售量×（销售单价﹣进价） ∴W=（﹣40x+560）（x﹣6） =﹣40x2+800x﹣3360 =﹣40（x﹣10）2+640，
当售价为10元，则y=560﹣400=160， 160×6=960（元）＞720元， 则当（﹣40x+560）×6=720，
解得：x=11．
即当销售单价为11元时，每天可获得的利润最大，最大利润是600元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用、待定系数法求一次函数的解析式的运用，在解答时理清题意设出一次函数的解析式建立方程组是关键．
25．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣8，0），点B的坐标是（0，n）（n＞0）．P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P′（点P′不在y轴上），连接PP′，P′A，P′C．设点P的横坐标为m．
（1）若点P在第一象限，记直线AB与P′C的交点为D．当P′D：DC=5：13时，求m的值；
（2）若∠ACP′=60°，试用m的代数式表示n；
（3）若点P在第一象限，是否同时存在m，n，使△P′CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的m，n的值；若不存在，请说明理由．
【考点】一次函数综合题． 【分析】（1）由条件可得△P′PD∽△CAD，利用相似三角形的性质可得到关于m的方程，可求得m的值；
（2）过P′H⊥AC于H，设直线AB的解析式为y=kx+n，把x=﹣8，y=0代入得：﹣8k+n=0，
于是得到直线的解析式是：y=x+n，求得PC=P′H=
=
，即可得到结论；
+n，根据三角函数的定义得到
（3）分∠AP′C、∠P′AC和∠P′CA分别为直角进行讨论，由等腰三角形可先求得m的值，再根据相似三角形可得到关于n的方程，可求得n的值． 【解答】解：（1）∵PP′∥AC， ∴△P′PD∽△CAD， ∴∴
==， ； =
，
解得：m=
（2）过P′H⊥AC于H，设直线AB的解析式为y=kx+n， 把x=﹣8，y=0代入得：﹣8k+n=0， ∴k=，
∴直线的解析式是：y=x+n， 把x=m代入得y=∴PC=P′H=
+n，
+n，
∵∠ACP′=60°， ∴
=
，
∴=，
∴n=；
（3）当点P在第一象限且△P′CA为等腰直角三角形时，分∠AP′C、∠P′AC和∠P′CA分别为直角进行讨论． 第一种情况：
若∠AP′C=90°，P′A=P′C， 过点P′作P′H⊥x轴于点H． ∴PP′=CH=AH=P′H=AC． ∴2m=（m+8）， ∴m=，P′H=
，
∵△AOB∽△ACP，
∴，
∴n=4；
第二种情况：
若∠P′AC=90°，P′A=AC，则PP′=AC， ∴2m=m+8， ∴m=8，
∵△P′AC为等腰直角三角形， ∴四边形P′ACP为正方形， ∴PC=AC=16，
∵△AOB∽△ACP， ∴
，即
=
，
∴n=8；
第三种情况：
