y＝1 200－25r y＝1 000
解得：均衡收入y＝1 000（亿美元），均衡利率r＝8， 代入投资函数，得投资i＝100（亿美元） （2）y＝90＋0.8×（y－50）＋140－5r ＋70
＝0.8y＋260－5r 解得：y＝1 300－5r．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．IS方程 解方程组：
y＝1 300－25r y＝1 000
解得：均衡收入y＝1000（亿美元），均衡利率r＝12， 将r＝12代入投资函数得：
i＝140－5×12 ＝80， 即：投资i＝80（亿美元）
（3）投资变化可以看出，当政府支出增加时，投资减少相应份额，这说明存在“挤出效应”，由均衡收入不变也可以看出，LM线处于古典区域，即LM曲线与横轴y垂直，这说明政府支出增加时，只会提高利率和完全挤占私人投资，而不会增加国民收入，可见这是一种与古典情况相吻合的完全挤占。
（4）如图15-2所示。
图15-2 挤出效应
4．假设货币需求为L＝0.20y－10r，货币供给为200亿美元，c＝60亿美元＋0.8yd，t＝100亿美元，i＝150亿美元，g＝100亿美元。
（1）求IS和LM方程。
（2）求均衡收入，利率和投资
（3）政府支出从100亿美元增加到120亿美元时，均衡收入，利率和投资有何变化？ （4）是否存在“挤出效应”？ （5）用草图表示上述情况。 解：（1）由y＝c＋i＋g
＝60＋0.8yd＋150＋100 ＝310＋0.8×(y－100)
化简得：0.2y＝230
y＝1 150．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．IS曲线； 由L＝0.20y－10r，M＝200和L＝M得：
0.2y－10r＝200
化简得：y＝1 000＋50r．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．LM曲线；
（2）由IS－LM模型联立方程组：
y＝1 150
y＝1 000＋50r 解得：y＝1 150（亿美元），r?3，i＝150（亿美元）
即均衡收入、均衡利率和投资分别为1 150亿美元、3%和150亿美元。
（3）由c＝60＋0.8yd，t＝100，i＝150，g＝120和y＝c＋i＋g得IS曲线为：
y＝c＋i＋g
＝60＋0.8yd＋150＋120 ＝330＋0.8×(y－100) ＝250＋0.8y
化简得：0.2y＝250 即：y＝1 250．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．IS曲线； LM曲线仍然为：y＝1 000＋50r 由IS－LM模型联立：
y＝1 250
y＝1 000＋50r
解得：均衡收入为y＝1 250（亿美元），均衡利率r＝5，投资i＝150（亿美元）。 （4）当政府支出增加时，由于投资无变化，可以看出不存在“挤出效应”。这是因为投资是一个固定的常量，不受利率变化的影响，也就是投资与利率变化无关，IS曲线是一条垂直于横轴y的直线。
（5）如图15-3所示。
图15-3 挤出效应
5．画两个IS－LM图形（a）和（b），LM曲线都是y＝750亿美元＋20r（货币需求为L＝0.20y－4r，货币供给为150亿美元），但图（a）的IS曲线为y＝1 250亿美元－30r，图（b）的IS曲线为y＝1 100亿美元－15r。
（1）试求图（a）和（b）中的均衡收入和利率。
（2）若货币供给增加20亿美元，即从150亿美元增加到170亿美元，货币需求不变，据此再作一条LM'曲线，并求图（a）和（b）中IS曲线与这条LM'相交所得均衡收入和利率。
（3）说明哪一个图形中均衡收入变动更多些，利率下降更多些，为什么？
解：本题是一个假定LM曲线斜率不变来讨论货币政策有效性的数学模型。据题设，绘（a）和（b）如图15-4（a）、（b）所示。
（1）（a）150＝0.2y－4r可化简为y＝750＋20r， 解方程组 y＝1 250－30r
y＝750＋20r
得均衡收入：y＝950（亿美元），均衡利率：r＝10。 （b）解方程组 y＝1 100－15r
y＝750＋20r
得均衡收入：y＝950（亿美元），均衡利率：r＝10。
图15-4 IS－LM图形 （2）（a）170＝0.2－4r可化为y＝850＋20r， 解方程组 y＝l 250－30r
y＝850＋20r
得均衡收入：y＝1 010（亿美元），均衡利率：r＝8。 （b）解方程组 y＝1 100－15r
y＝850＋20f
得：均衡收入y＝992.9（亿美元），均衡利率：r＝7.1。 所作的LM′曲线如图（a）和（b）所示
（3）图形（a）的均衡收入变动更多些，图形（b）中的利率下降更多些。这是由于二者IS曲线的斜率不同。由于情况（a）的IS曲线比情况（b）平缓，即投资的利率弹性较大，所以货币供应增加引起均衡收入较大幅度的上升，（b）比（a）陡峭，相同货币供给增加，引起利率较大幅度下降。
6．假定某两部门经济中IS方程为y＝1 250亿美元－30r。
（1）假定货币供给为150亿美元，当货币需求为L＝0.20y－4r时，LM方程如何？两个市场同时均衡的收入和利率为多少？当货币供给不变但货币需求为L'＝0.25y－8.75r时， LM'方程如何？均衡收入为多少？分别画出图形（a）和（b）来表示上述情况。
（2）当货币供给从150亿美元增加到170亿美元时，图形（a）和（b）中的均衡收入和利率有什么变化？这些变化说明什么？
答：（1）①由ms＝L，得到150＝0.20y－4r， 解得：y＝750＋20r，此即为LM方程。 ②联立方程 y＝1 250－30r y＝750＋20r
解得：均衡收入为y＝950，均衡利率为r＝10。
③当货币供给不变，但货币需求为L'＝0.25y－8.75r时，LM'方程为：
150＝0.25y－8.75r， 即：y＝600＋35r。
④将LM'方程与IS方程联立有 y＝1 250－30r y＝600＋35r， 解得：均衡收入为y＝950，均衡利率为r＝10。 ⑤以上情况如图15-5所示。
图15-5 IS－LM图形
（2）在图（a）中，LM方程变为y＝850＋20r， 与IS方程联立求解，解得：r＝8，y＝1 010， 即均衡收入为：y＝1 010（亿美元），均衡利率为：r＝8。 在图（b）中，LM'方程将变为y＝680＋35r， 和IS方程联立求解，解得：r＝8.77，y＝987。 可见，（a）中利率下降比（b）中更多，故收入增加也更多。原因是（a）中货币需求利率系数小于（b）中的利率系数（4＜8.75），因此，同样增加货币20亿美元，（a）中利率下降会更多，从而使收入和投资增加更多。
7．某两部门经济中，假定货币需求L＝0.20y，货币供给为200亿美元，消费为c＝100亿美元＋0.8yd，投资i＝140亿美元－5r
（1）根据这些数据求IS和LM的方程，画出IS和LM曲线。 （2）若货币供给从200亿美元增加到220亿美元，LM曲线如何移动？均衡收入、利率、消费和投资各为多少？
（3）为什么均衡收入增加量等于LM曲线移动量？ 解：（1）两部门经济中，y＝c＋i，且y＝yd，
得IS曲线方程为：y＝100＋0.8yd＋140－5r＝100＋0.8y＋140－5r， 化简得y＝1 200－25r，
由L＝0.20y、M＝200和L＝M得LM曲线方程：y＝1 000。 与IS曲线联立，解得均衡收入为y＝1 000，均衡利率为r＝8。 LM曲线和IS曲线的图形如图15-6所示：