依题意，有
?e?(a?x2x?1x2?lnx)． [ 2分]
f?(1)?e?(a?1)?e， [ 4分]
解得 a?0． [ 5分]
（Ⅱ）由
令
f?(x)?e?(a?x2x?1x2?lnx)及ex?0知，
f?(x)与a?2x?1x2?lnx同号．
g(x)?a?x22x?1x32?lnx， [ 6分]
2则 g?(x)??2x?2x?(x?1)?1x3． [ 8分] ，故g(x)在(0,??)单调递增． [ 9分] ，g(12)?a?ln12?0所以 对任意x?(0,??)，有g?(x)因为
a?(0,ln2)12?0，所以 ，使得
12,1)g(1)?a?1?0，
故 存在x0f(x)?(,1)g(x0)?0． [11分]
与
f?(x)在区间((12上的情况如下：
x0 (x0,1)x ,x0) f?(x)? 0 + f(x)↘ 12,x0)极小值 ↗ 所以 所以
f(x)在区间(上单调递减，在区间(x0,1)上单调递增．
． [13分]
f(x)存在极小值
f(x0)19．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由题意，椭圆C的标准方程为 所以 因此
a2x24?y222?1．
2 [ 1分] ．
?4，b2??22，从而 ．
c2?a?b?2a?2，c 故椭圆C的离心率
e?ca?22． [ 3分]
2,0) 椭圆C的左焦点F的坐标为(?． [ 4分]
9
（Ⅱ）直线l与圆F相切．证明如下： [ 5分]
2设P(x0,y0)，其中?2?x0?2，则x0?2y0?42， [ 6分]
22依题意可设Q(x0,y1)，则x0?y1?4． [ 7分]
直线l的方程为 y整理为 x0x??y1??x0y1(x?x0)，
y1y?4?0． [ 9分]
所以圆F的圆心F到直线l的距离
d?|?2x0?4|?|2x0?2|．
x20?y212因为
|PF|2?(x210?2)2?y20?(x0?2)?(4?x2?1x22x20)20?20?4． 所以 |PF|2?d2，
即 |PF|?d，
所以 直线l与圆F相切．
20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为
S0?0，S1??0.3，S2?0.4，S3?0.3，S4?1.2，S5?1.3， 所以 E5?{2,4,5}． （Ⅱ）由集合En的定义知
Ski?1?Ski，且ki?1是使得Sk?Ski成立的最小的k，
所以
Sk?1≤ i?1Sk. i又因为 aki?1?1，
所以
Ski?1?Ski?1?1?aki?1 ?Ski?1.
所以
Ski?1?Ski?1． （Ⅲ）因为Sn?S0，所以En非空．
设集合 En?{k1,k2,,km}，不妨设k1?k2??km，
则由（Ⅱ）可知
Ski?1?Ski?1(i?1,2,,m?1)，
10
11分]
13分]
14分]
[ 2分]
[ 3分] [ 5分]
[ 6分]
[ 8分]
[ [ [
同理 所以
Sk?S0?1，且 Sn≤Sk1m．
)??(Sk?Sk)?(Sk?S0)211Sn?(Sn?Sk)?(Skmm?Skm?1
?0?1?1?m个1?1?1?m．
m≥C?1．
因为
Sn?C，所以En的元素个数
[11分]
取常数数列AC?1n：ai?(i?1,2,,C?1)，并令n?C?1，
C?22则
SC?1)2n?(?C?2C?1?C，适合题意，
C?2C?2且 En?{1,2,,C?1}，其元素个数恰为C?1．
综上，En的元素个数的最小值为C?1．
11
[13分]