西城区高三统一测试
数学（理科） 2018.4
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项． 1．若集合A（A）{（C）{?{x?R|3x?2?0}，B?{x?R|x?2x?3?0}2，则AB?23
x?R|x??1}
（B）{（D）{x?R|?1?x??}
x?R|?23?x?3}x?R|x?3}
2．执行如图所示的程序框图，输出的k值为 （A）2 （B）3 （C）4 （D）5
223．已知圆的方程为x?y?2y?0．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，该圆
的极坐标方程为 （A）?（C）???2sin???2cos?
（B）?（D）??2sin??2cos?
4．正三棱柱的三视图如图所示，该正三棱柱的表面积是 （A）33 （B）923 （C）6?3 （D）6?23 5．已知O是正方形ABCD的中心．若DO（A）?
12???????????AB??AC，其中?，??R，则
???
（B）?2 （C）?2 （D）2
1
6．设函数
f(x)?x?bx?c2．则“
f(x)有两个不同的零点”是“?x0?R，使f(x0)?0”的
（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 的图象上关于原点O对称的点共有
（A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件 7．函数
??2x?4x?1,x?0,f(x)?? 则y?f(x)x2?3,x≤0.??2（A）0对 （C）2对
（B）1对 （D）3对
8．某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且该任务完成后才能执行下一项任务．现有 三项任务U，V，W，计算机系统执行这三项任务的时间（单位：s）依次为a，b，c，其中a?b?c．一项任务的“相对等待时间”定义为从开始执行第一项任务到完成该任务
的时间与计算机系统执行该任务的时间之比．下列四种执行顺序中，使三项任务“相对等待时间”之和最小的是 （A）U?V?W
2
（B）V?W?U （C）W?U?V （D）U?W?V
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．若复数(a
10．设等差数列{an}的前n项和为Sn．若a1
11．已知抛物线y??8x的焦点与双曲线
双曲线的渐近线方程是____．
212．设??0，若函数y?cos?x的最小正周期为
2?i)(3?4i)的实部与虚部相等，则实数a?____．
?2，S4?20，则a3?____；Sn?____．
xa22?y2?1(a?0)的一个焦点重合，则a?____；
π2，则??____．
13．安排甲、乙、丙、丁4人参加3个运动项目，每人只参加一个项目，每个项目都有人参
加．若甲、乙2人不能参加同一个项目，则不同的安排方案的种数为____．（用数字作答）
14．如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AA1?AB?2，BC?1，
点P在侧面A1ABB1上．若点P到直线AA1和CD的距离相等， 则A1P的最小值是____．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）
在△ABC中，已知（Ⅰ）求?A3a?sinC?c?sin2A．
的大小；
7（Ⅱ）若a?
，b?23，求△ABC的面积．
3
16．（本小题满分13分）
某企业2017年招聘员工，其中A、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：
岗位 男性应聘人数 男性录用人数 男性录用比例 女性应聘人数 女性录用人数 女性录用比例 A B C D E 总计 269 40 177 44 3 533 167 12 57 26 2 264 62% 30% 32% 59% 67% 50% 40 202 184 38 3 467 24 62 59 22 2 169 60% 31% 32% 58% 67% 36% （Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；
（Ⅱ）从应聘E岗位的6人中随机选择2人．记X为这2人中被录用的人数，求X的分布列和
数学期望；
（Ⅲ）表中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于
5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）
17．（本小题满分14分）
如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB?AC?25，
BC?4．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE?BD?平面BCED，如图2．
（Ⅰ）求证：A1O；
（Ⅱ）求直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值；
（Ⅲ）线段A1C上是否存在点F，使得直线DF和BC所成角的余弦值为的值；若不存在，说明理由．
图1 图2
4
53？若存在，求出
A1FA1C