北京航空航天大学校内自用讲义
上机实验指导
实验一 信号的采样与重构
连续时间信号采样是获得离散时间信号的一种重要方式，但是时域上的离散化会带来信号在频域上发生相应的变化。在本实验中，我们将分别看到低通信号和带通信号在不同的采样率下得到的离散信号波形与连续信号波形在时域和频域上的对应关系。同时，离散信号的二次采样在实际的应用中可能是必须的，有时甚至是非常重要的。在实验的最后，我们也会看到离散信号的抽取和内插所带来的频谱变化。
由于matlab语言无法表达连续信号，实验中我们采用足够密的采样点来模拟连续信号（远大于奈奎斯特采样的要求），即：
t=0:Ts:T（Ts=1/fs<<奈奎斯特采样频率）
实验中，为了分析离散信号与连续信号之间的频谱关系，加深对采样定理的理解，了解模拟频谱、数字频谱、以及离散信号被加窗后各自的频谱，从而直观的理解采样频率对频谱的影响和加窗后对频谱的影响。由此可以掌握数字处理方法对模拟信号进行频谱分析的基本原则，即：如何选择合适的信号长度、采样周期以使得对模拟信号的频谱分析的误差达到分析的要求。
在该实验中，用到的Matlab函数有:
plot(x,y)，其作用是在坐标中以x为横坐标、y为纵坐标的曲线，注意x和y都是长度相同的离散向量；
xlabel(‘xxx’)，其作用是对x轴加上坐标轴说明“xxx”； ylabel(‘yyy’)，其作用是对y轴加上坐标轴说明“yyy”； title(‘ttt’)，其作用是对坐标系加上坐标轴说明“ttt”；
subplot(m,n,w)，其作用是当需要在同一显示面板中显示多个不同的坐标系时，m、n分别指明每行和每列的坐标系个数，w为当前显示坐标系的流水号(1到m*n之间)。 在实验中我们需要画出信号的频谱，对于连续信号频谱的逼近需要你自己编写，原理如下：
连续时间非周期信号x(t)的傅里叶变换对为：
X(j?)??x(t)e?j?tdt
???用DFT 方法对该变换逼近的方法如下：
1、将x(t)在t轴上等间隔（宽度为T）分段，每一段用一个矩形脉冲代替，脉冲的幅
度为其起始点的抽样值x(t)t?nT?x(nT）?x(n)，然后把所有矩形脉冲的面积相加。该方法实际为平顶处理，利用采样和零阶保持器就可以完成,则有：
X(j?)?n????x(nT)e??j?nT?T
- 402 -
北京航空航天大学校内自用讲义
2、将序列x(n)?x(nT)截断成从t=0开始长度为T0的有限长序列，包含有N个采样，即时域加矩形窗，则上式又可以进一步近似为：
X(j?)?T?x(nT)e?j?nT
n?0N?1由于时域采样，采样频率为fs?1，则频域产生以fs为周期的周期延拓，如果是限带T信号，则有可能不产生混叠，成为连续周期频谱序列，频域周期为fs。
3、由于数值计算的限制，在频域上也只能计算离散点（频域抽样）上的数值。我们将频域的一个周期(fs)中也分成N段，即fs?NF0。每个频域采样点间的间隔为F0。则上式可以进一步化简为：
X(jk?0)?T?x(nT)e?jk?0nTn?0N?1?T?x(nT)en?0N?1?jnk2?F0fs?T?x(nT)en?0N?12??jnkN
?T?DFT[x(n)]|x(n)?x(nT)?由此我们看到了DFT与CTFT之间的近似关系。如果将T和F0取得尽量小，则我们可以得到模拟信号的较精确的时频特性。
一、低通采样
考虑以下模拟信号xa(t) ，xa(t)=cos(2*pi*f0*t)+ 2*cos(2*pi*10*f0*t),令f0=100Hz。显然该信号的最高频率1kHz。
1． 采样频率fs大于信号最高频率10f0的2倍时信号的恢复。
1）对信号以fs1=2.2kHz的频率进行采样，得到抽样信号x(n)= xa(t)|t=nT；
2）利用内插公式xr(t)=x(n)*[sin(pi*(t-n*Ts)/Ts)/ (pi*(t-n*Ts)/Ts)]恢复出原始
^
信号xa(t)；
^
3）绘出Δx(t)= xa(t)- xa(t)的时域波形；
4）利用前面介绍的画频谱的方法画出xa(t)和x(n)的频谱，对应3）中的误差曲线和频谱图说明是否有新的频率分量产生，是何原因？
2． 采样频率fs低于信号最高频率10f0的2倍时信号的恢复。
分别取fs=6*f0和fs=14*f0，重复1中的操作，注意观察时域波形和频谱的对应变化。
二、带通采样
通过该题目进一步加深对带通信号采样定理的认识，即不需要象低通采样那样需要信号最高频率的2倍才能恢复出原始信号。
带通信号的采样定理可描述如下：如果模拟信号f(t)为带通信号，其角频率限制在fL
和fm之间，则必须的最低采样频率fs>=2（fm－fL）。且当采样率满足fs＝4 f0/(2n+1)（f0 ＝
- 403 -
北京航空航天大学校内自用讲义
（fm＋fL）/2为信号的中心频率，n=0,1,2,??），则可以无失真的从采样信号中恢复原始信号。注意当fs的取值大于2fm时，与低通采样定理意义相同。
考虑模拟信号xa(t) ，xa(t)=cos(2*pi*f0*t)+ 2*cos(2*pi*f1*t),令f0=1.6kHz，f1=2kHz。该信号带宽0.4k< 1．请你根据带通采样定理，选取适当的采样速率以得到抽样信号x(n)，然后同样用内插公式恢复成模拟信号，并思考如何由该模拟信号得到原来的带通信号。 2．请绘出带通信号的频谱及x(n)的频谱，观察并比较它们。 三、加窗后信号幅频特性的变化 考虑一个以指数率衰减的信号xa(t)=ecos(2*pi*f0*t)，为简便起见，复数形式表示 -at2*pi*f0*t 为xa(t)=e e。现在以fs=1/T抽样，则得到抽样信号x(n)=xa(nT)，n=?,-3,-2,-1,0,1,2,?。这样的无限长序列计算机是无法存储的，通常的做法是令xL(nT)=x(nT)，n=0,1,.?,L-1，它是长度为L的加窗信号。 模拟、采样、加窗后信号的频谱幅度如下： -at Xa(f)?221 ?2?[2?(f?f0)]2X(f)?1 ??T?2?T1?2ecos[2?(f?f0)]?e1?2e??TLcos[2?(f?f0)L]?e?2?TL XL(f)???T?2?T1?2ecos[2?(f?f0)]?e2我们有极限 limXL(f)?X(f)，limTX(f)?Xa(f) T??-1 fs??其中：α=0.2s,f0=0.5Hz，fs=1Hz。 22 1、请在同一图中绘出模拟信号频谱|Xa(f)|及采样信号频谱T|Xa(f)|,在另外一张图 22 2 中绘出三个频谱|Xa(f)|, T|Xa(f)|,T|XL(f)|(频率范围:0 四、信号的抽取和内插 设离散时间信号为汉宁窗信号（升余弦）： 12?nx(n)?[1?cos()]RN(n) 2N?1当N=32时： 1、 给出x(n)的幅频特性曲线； 2、 给出x(n)经两倍抽取之后的幅频特性； 3、 给出x(n)经两倍内插之后的幅频特性； 4、 当N=16时，重复1、2、3。 - 404 - 北京航空航天大学校内自用讲义 实验二 滤波器的设计 滤波器设计是数字信号处理中最基本的内容之一。我们知道滤波器分IIR滤波器（无限冲激响应滤波器）和FIR滤波器（有限冲激响应滤波器）两种。对于现实应用中的具体指标的滤波器，如果能用IIR实现，用FIR也同样能够实现；反之亦然。 IIR滤波器的设计主要有两种方法：一种是冲激不变法，另一种是双线性变换法。这两种设计方法都是对原型连续时间滤波器进行变换来设计数字信号滤波器。在这些变换中，通常要求所得到的数字滤波器的频率响应中应保留连续时间滤波器频率响应的基本特性。 FIR滤波器的设计方法以直接逼近所需离散设计系统的频率响应为基础。另外FIR滤波器可以很容易地获得线性相移特性，不存在不稳定的问题，在实际系统中是广为采用的一种数字滤波器。一般在FIR滤波器设计中，我们都加上线性相移这一条件。FIR滤波器的设计，通常有窗函数设计法、频率抽样设计法和最佳逼近设计法。窗函数设计法比较简单，它的频率特性是理想滤波器频谱与窗的频谱的卷积。因而，其频率特性取决于窗的类型和长度。频率抽样设计法比较直观，但由于频域的采样会造成时域的混叠，从而滤波器叠性能不可能很高，为提高滤波器的性能，可以在过渡带加上0～1之间的过渡点。 一、IIR滤波器设计 1．设计一个巴特沃思低通滤波器，其技术指标为：3dB带宽为0.2?，阻带截止频率为0.5?，阻带衰减大于30dB，采样间隔T=10us。 1）用冲激响应不变法 2）用双线性变换法设计 3）用FIR的矩形窗函数设计 要求：在同一图中画出原型、冲激响应不变法、双线性变换法和FIR窗函数设计法所设计的数字滤波器的幅频特性图。通过本题，应该清楚地看到冲激响应不变法和双线性变换法设计的滤波器频谱特性与原型连续滤波器之间的相同和不同点、IIR和FIR滤波器设计法的比较，以及为什么在IIR数字滤波器的设计中通常采用双线性变换法。 2．用双线性变换法分别设计低通、高通、带通、带阻四种滤波器。模拟滤波器带原型分别为切比雪夫滤波器和椭圆滤波器，采样率Fs=20kHz，指标如下： 1） 低通：通带0～4 kHz，阻带5 kHz，通带衰减Rp=0.5dB，阻带衰减As=10dB。 2） 高通：阻带0～4 kHz，通带5 kHz，通带衰减Rp=0.5dB，阻带衰减As=10dB。 3） 带通：通带2kHz～4 kHz，阻带0～1.5 kHz，4.5kHz以上，通带衰减Rp=0.5dB，阻 带衰减As=10dB。 4） 带阻：阻带2kHz～4 kHz，通带0～1.5 kHz，4.5kHz以上，通带衰减Rp=0.5dB，阻 带衰减As=10dB。 要求：分别画出低通、高通、带通和带阻四种滤波器的幅频特性图，并且要求两种不同的原型滤波器下设计的结果画在同一幅图中。本题要求同学们掌握低通、高通、带通、带阻型的IIR滤波器的设计方法，以及在不同类型的原型滤波器下，所设计滤波器的区别。 - 405 -
