错因:上述解法忽略了条件“逐把不重复地试开”.
正解：我们知道最多开5次门，且其中有且仅有一次可以打开房门，故每一次打开门的概率
是相同的，都是.开三次门的所有可能性有种.第三次打开房门，则房门钥匙放在第3
种可能.从而
号位置上，前两次没能打开门，则前2个位置是用另4把钥匙安排的，故有
恰好第三次打开房门锁的概率是P（A）＝.
[例2] 某组有16名学生，其中男、女生各占一半，把全组学生分成人数相等的两小组，求每小组里男、女生人数相同的概率.
错解：把全组学生分成人数相等的两小组，有
种分法，事件A为组里男、女生各半
的情形，它有种，所以P（A）＝.
错因:这里没注意到均匀分成两组与分成A、B两组的区别.
正解：基本事件有，事件A为组里男、女生各半的情形，它有种，所
以 P（A）＝.
[例3] 把一枚硬币向上连抛10次，则正、反两面交替出现的概率是 .
错解：抛掷一枚硬币出现正、反两面的可能性都相等，因而正、反两面交替出现的概率是.
错因：没审清题意.事实上，把一枚硬币向上连抛10次，出现正面5次的概率同样也不等于
.
正解：连抛10次得正、反面的所有可能的情况共有
种，而题设中的正、反两面交替出
现的情况只有2种，故所求的概率为.
[例4]（2003.上海卷）某科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成，现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 （结果用分数表示）.
解：设“从20名成员中随机选出的2人来自不同国家”为事件A，则A所包含的基本事件数为
，又基本事件数为
.
故P（A）＝.
[例5] 将4个编号的球放入3个编号的盒中，对于每一个盒来说，所放的球数ｋ满足0≤ｋ≤4.在各种放法的可能性相等的条件下，求：
（1）第一个盒没有球的概率；
（2）第一个盒恰有1个球的概率； （3）第一个盒恰有2个球的概率；
（4）第一个盒有1个球，第二个盒恰有2个球的概率. 解：4个不同的球放入3个不同的盒中的放法共有（1）第一个盒中没有球的放法有
种.
种，所以第一个盒中没有球的概率为：
P1＝.
种，所以第一个盒中恰有1个球的概率为：
（2）第一个盒中恰有1个球的放法有
P2＝.
种，所以第一个盒中恰有2个球的概率为：
（3）第一个盒中恰有2个球的放法有
P3＝.
种，所以所求的概率
（4）第一个盒中恰有1个球，第二个盒中恰有2个球的放法有
为：P4＝.
[例6] 一个口袋内有7个白球和3个黑球，分别求下列事件的的概率：
（1）事件A：从中摸出一个放回后再摸一个，两回摸出的球是一白一黑； （2）事件B：从袋中摸出一个黑球，放回后再摸出一个是白球； （3）事件C：从袋中摸出两个球，一个黑球，一个白球；
（4）事件D：从从袋中摸出两个球，先摸出的是黑球，后摸出的是白球.
解：（1）基本事件总数是10×10.事件A包括“先摸出黑球后摸出白球”及“先摸出白球
后摸出黑球”，摸出白球及黑球分别有7种和3种可能.所以A发生共有2×7×3种可能.
∴P（A）＝＝0.42.
2）事件B与事件A不同，它确定了先摸黑球再摸白球的顺序.
P（B）＝＝0.21
，事件C包
（3）事件C说明摸出两个球不放回，且不考虑次序，因此基本事件总数是含的基本事件个数是
.
P（C）＝≈0.47.
（4）与事件A相比，D要考虑摸出两球的先后次序.
P（D）＝≈0.23
评注：注意“放回抽样”与“不放回抽样”的区别.本例（1）（2）是放回抽样，（3）（4）是不放回抽样.
四、典型习题导练
1．对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下：
抽取台数 优等品数 50 40 100 92 200 192 300 500 1000 285 478 954 （1）计算表中优等品的各个频率；
（2）该厂生产的电视机优等品的概率是多少？
2．先后抛掷三枚均匀的硬币，至少出现一次正面的概率是 （ ）
A、 B、 C、 D、
3．停车场可把12辆车停放一排，当有8辆车已停放后，则所剩4个空位恰连在一起的概率为 （ ）
A. B. C. D.
4．有5条线段，其长度分别为1、3、5、7、9，现从中任取3条线段，求3条线段构成三角形的概率.
5．把10个运动队平均分成两组进行预赛，求最强的两队被分在（1）不同组内；（2）同一组内的概率.
6．甲、乙两人参加普法知识问答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙两人依次各抽一题.
（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？
（2）甲、乙两人至少有一人抽到选择题的概率是多少？
§9.5 几何概型及互斥事件的概率
一、知识导学
1. 对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型.
一般地，在几何区域 Ｄ 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域ｄ内”为事件Ａ，则事件Ａ 发生的概率
Ｐ（Ａ）＝ ．
这里要求Ｄ 的测度不为０，其中“测度”的意义依Ｄ 确定，当Ｄ 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等 2．互斥事件：不可能同时发生的两个事件.
如果事件A、B、C，其中任何两个都是互斥事件，则说事件A、B、C彼此互斥.
当A，B是互斥事件时，那么事件A＋B发生（即A，B中有一个发生）的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和.
P（A＋B）＝P（A）＋P（B）.
如果事件A1、A2、?、Aｎ彼此互斥，那么事件A1＋A2＋?＋Aｎ发生（即A1、A2、?、Aｎ中有一个发生）的概率，等于这ｎ个事件分别发生的概率的和.
3．对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件.事件A的对立事件通常记着
对立事件的概率和等于1. P（
）＝1－P（A）
.
4．相互独立事件：事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件.
当A，B是相互独立事件时，那么事件AB发生（即A，B同时发生）的概率，，等于事件A，B分别发生的概率的积.
P（AB）＝P（A）P（B）.
如果事件A1、A2、?、Aｎ相互独立，那么事件A1A2?Aｎ发生（即A1、A2、?、Aｎ同时发生）的概率，等于这ｎ个事件分别发生的概率的积. 5．独立重复试验
