2013年高考理科数学全国新课标卷2word解析版
(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；
(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值． 解：(1)因为CD为△ABC外接圆的切线， 所以∠DCB＝∠A，由题设知
BCDC， ?FAEA故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA. 因为B，E，F，C四点共圆， 所以∠CFE＝∠DBC， 故∠EFA＝∠CFE＝90°.
所以∠CBA＝90°，因此CA是△ABC外接圆的直径．
(2)连结CE，因为∠CBE＝90°，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB＝BE，有CE＝DC，又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.
而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为23．(2013课标全国Ⅱ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
已知动点P，Q都在曲线C：?1. 2?x?2cost,(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M
y?2sint?为PQ的中点．
(1)求M的轨迹的参数方程；
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
解：(1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)， 因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)． M的轨迹的参数方程为??x?cos??cos2?,(α为参数，0＜α＜2π)．
?y?sin??sin2?(2)M点到坐标原点的距离
d?x2?y2?2?2cos?(0＜α＜2π)．
当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．
24．(2013课标全国Ⅱ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明： (1)ab＋bc＋ac≤
1； 3a2b2c2???1. (2)bca解：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca， 得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
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所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤
1. 3a2b2c2?b?2a，?c?2b，?a?2c， (2)因为bcaa2b2c2???(a?b?c)≥2(a＋b＋c)， 故bca即a2b?b2c?c2a≥a＋b＋c. a2b2c2所以b?c?a≥1. 10 / 10
