证明 (1)如图,连结EF、CD1、A1B.
∵E、F分别是AB、AA1的中点,∴EF∥BA1,EF=BA1. 又A1B∥D1C,∴EF∥CD1, ∴E、C、D1、F四点共面. (2)易知EF=CD. ∵EF∥CD1,
∴CE与D1F必相交, 设交点为P,如图所示.
则由P∈CE,CE?平面ABCD,得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,
∴P∈直线DA.∴CE、D1F、DA三线共点.
B组 xx模拟·提升题组 (满分:20分 时间:10分钟)
解答题(共15分)
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为正方形ABCD的中心,H为直线B1D与平面ACD1的交点.求证:D1、H、O三点共线.
证明 连结BD、B1D1,OD1,如图. 则BD∩AC=O, ∵BB1",DD1,
∴四边形BB1D1D为平行四边形, 又H∈B1D,B1D?平面BB1D1D, ∴H∈平面BB1D1D,
∵平面ACD1∩平面BB1D1D=OD1,H∈平面ACD1,∴H∈OD1. 即D1、H、O三点共线.
C组 xx模拟·方法题组
方法 证明点共线、线共点等的方法
如图,在空间四边形ABCD中,E,G分别为BC,AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有DF∶FC=DH∶HA=2∶3. 求证:(1)E,F,H,G四点共面; (2)EF,GH,BD交于一点.
证明 (1)连结GE,FH,因为E,G分别为BC,AB的中点,所以GE∥AC,GE=AC.又因为DF∶FC=DH∶HA=2∶3,所以FH∥AC,FH=AC.从而FH∥GE,FH≠GE.所以四边形EFHG是一个梯形,故E,F,H,G四点共面.
(2)因为四边形EFHG是一个梯形,且FH∥GE,所以直线EF与GH相交.设交点为O,则O∈GH,O∈EF.因为GH?平面ABD,EF?平面BCD,所以O∈平面ABD,O∈平面BCD.又因为平面ABD∩平面BCD=BD,所以O∈BD.所以EF,GH,BD交于一点.
