∴2ak＋1＝2＋ak.[10分]
2－12＋k－1k＋1
22＋ak2－1
∴ak＋1＝＝＝. k222∴当n＝k＋1时，结论成立．[13分] 2－1*
由①②知猜想an＝n－1(n∈N)成立．[14分]
2
归纳—猜想—证明问题的一般步骤
第一步：计算数列前几项或特殊情况，观察规律猜测数列的通项或一般结论． 第二步：验证一般结论对第一个值n0(n0∈N)成立．
第三步：假设n＝k(k≥n0)时结论成立，证明当n＝k＋1时结论也成立． 第四步：下结论，由上可知结论对任意n≥n0，n∈N成立．
温馨提醒 解决数学归纳法中“归纳—猜想—证明”问题及不等式证明时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：
(1)归纳整理不到位得不出正确结果，从而给猜想造成困难．
(2)证明n＝k到n＝k＋1这一步时，忽略了假设条件去证明，造成使用的不是纯正的数学归纳法．
(3)不等式证明过程中，不能正确合理地运用分析法、综合法来求证．
另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧，只有这样，才能快速正确地解决问题．
[方法与技巧]
1．数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可
有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础． 2．归纳假设的作用
在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：
(1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证n＝k＋1时，必须用上归纳假设． 3．利用归纳假设的技巧
在推证n＝k＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设．此时既要看准目标，又要掌握n＝k与n＝k＋1之间的关系．在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用． [失误与防范]
1．数学归纳法证题时初始值n0不一定是1；
2．推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时的假设，否则不是数学归纳法．
*
*
kn
A组 专项基础训练 (时间：40分钟)
1．用数学归纳法证明2>2n＋1，n的第一个取值应是_________________________． 答案 3
解析 ∵n＝1时，2＝2,2×1＋1＝3,2>2n＋1不成立；
1
nnn＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n>2n＋1不成立； n＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n>2n＋1成立．
∴n的第一个取值应是3.
111127*
2．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋n－1> (n∈N)成立，其初始值至少应取
24264________． 答案 8
11－n21111
解析 左边＝1＋＋＋…＋n－1＝＝2－n－1，代入验证可知n的最小值是8.
24212
1－23．数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an－an－1＝2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是________． 答案 n
解析 计算出a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16.可猜an＝n.
4．对于不等式n＋n (2)假设当n＝k(k∈N)时，不等式成立，即k＋k * 222* 2 2 k＋ 1. 2 ＋k＋＝k＋3k＋2< 2 k2＋3k＋ ＋k＋＝k＋ 2 ＝(k＋1)＋ ∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法________(填序号)． ①过程全部正确； ②n＝1验得不正确； ③归纳假设不正确； ④从n＝k到n＝k＋1的推理不正确． 答案 ④ 解析 在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法． 5．利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2×1×3×…×(2n－1)，n∈N”时，从“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是________． 答案 2(2k＋1) 解析 当n＝k(k∈N)时， 左式为(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)； 当n＝k＋1时，左式为(k＋1＋1)·(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k－1)·(k＋1＋k)·(k＋1＋k＋1)， 则左边应增乘的式子是* n* k＋ k＋1 k＋ ＝2(2k＋1)． 2 6．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有(Sn－1)＝anSn，通过计算S1，S2， S3，猜想Sn＝__________. 答案 nn＋1 12 解析 由(S1－1)＝S1·S1，得S1＝， 222 由(S2－1)＝(S2－S1)S2，得S2＝， 334n依次得S3＝，S4＝，猜想Sn＝. 45n＋1 111* 7．用数学归纳法证明：“1＋＋＋…＋n 232－1立，推理n＝k＋1时，左边应增加的项数是________． 答案 2 111 解析 当n＝k时，要证的式子为1＋＋＋…＋k 232－1 111111 当n＝k＋1时，要证的式子为1＋＋＋…＋k＋k＋k＋…＋k＋1 232－122＋12－1左边增加了2项． 11157* 8．已知f(n)＝1＋＋＋…＋ (n∈N)，经计算得f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，23n22则其一般结论为______________________． 答案 f(2)> nkkn＋2 2 (n≥2，n∈N) * 4567n＋22345n解析 因为f(2)>，f(2)>，f(2)>，f(2)>，所以当n≥2时，有f(2)>.故填 22222 n＋2* f(2n)>(n≥2，n∈N)． 2 9．已知点Pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝ 2 (n∈N)，且点P1的坐标为(1，－1)． 1－4an(1)求过点P1，P2的直线l的方程； (2)试用数学归纳法证明：对于n∈N，点Pn都在(1)中的直线l上． (1)解 由题意得a1＝1，b1＝－1， * bn* b2＝ －1111 ＝，a2＝1×＝， 1－4×1333 ?11?∴P2?，?. ?33? y＋1x－1 ∴直线l的方程为＝， 11＋1－133 即2x＋y＝1. (2)证明 ①当n＝1时， 2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1成立． ②假设n＝k(k∈N)时，2ak＋bk＝1成立． 则2ak＋1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1＝ * bk1－4ak2·(2ak＋1)＝ 1－2ak＝＝1， 1－2ak1－2akbk∴当n＝k＋1时，2ak＋1＋bk＋1＝1也成立． 由①②知，对于n∈N，都有2an＋bn＝1，即点Pn都在直线l上． B组 专项能力提升 (时间：30分钟) 10．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)成立”．那么，下列命题总成立的是________． ①若f(1)<1成立，则f(10)<100成立； ②若f(2)<4成立，则f(1)≥1成立； ③若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k成立； ④若f(4)≥16成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k成立． 答案 ④ 解析 ∵f(k)≥k成立时，f(k＋1)≥(k＋1)成立， ∴f(4)≥16时，有f(5)≥5，f(6)≥6，…，f(k)≥k成立． 11．设平面上n个圆周最多把平面分成f(n)片(平面区域)，则f(2)＝________，f(n)＝________.(n≥1，n∈N) 答案 4 n－n＋2 解析 易知2个圆周最多把平面分成4片；n个圆周最多把平面分成f(n)片，再放入第n＋1个圆周，为使得到尽可能多的平面区域，第n＋1个应与前面n个都相交且交点均不同，有n2 * 2 2 2 2 2 22 2 2 *
