解 由题设得，g(x)＝(x≥0)．
1＋xxx(1)由已知，g1(x)＝
x1＋x，g2(x)＝g(g1(x))＝
1＋x1＋
x1＋x＝
x1＋2x，g3(x)＝
x1＋3x，…，可猜想
gn(x)＝
. 1＋nxx下面用数学归纳法证明．
①当n＝1时，g1(x)＝，结论成立．
1＋x②假设n＝k时结论成立， 即gk(x)＝. 1＋kx那么，当n＝k＋1时，gk＋1(x)＝g(gk(x))
xxx＝
1＋kxgkxx＝＝
1＋gkxx1＋k＋
1＋
1＋kx*
x，即结论成立．
由①②可知，结论对n∈N成立．
(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥恒成立．
1＋x设φ(x)＝ln(1＋x)－(x≥0)，
1＋x1
则φ′(x)＝－
1＋xaxaxa＋x2＝x＋1－a2， ＋x当a≤1时，φ′(x)≥0(仅当x＝0，a＝1时等号成立)， ∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递增． 又φ(0)＝0，
∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立， ∴a≤1时，ln(1＋x)≥
恒成立(仅当x＝0时等号成立)． 1＋xax当a>1时，对x∈(0，a－1]有φ′(x)≤0， ∴φ(x)在(0，a－1]上单调递减， ∴φ(a－1)<φ(0)＝0.
即a>1时，存在x>0，使φ(x)<0， ∴ln(1＋x)≥不恒成立，
1＋xax综上可知，a的取值范围是(－∞，1]．
12n(3)由题设知g(1)＋g(2)＋…＋g(n)＝＋＋…＋，n－f(n)＝n－ln(n＋1)，
23n＋1比较结果为g(1)＋g(2)＋…＋g(n)>n－ln(n＋1)． 111
证明如下：上述不等式等价于＋＋…＋ 23n＋1在(2)中取a＝1，可得ln(1＋x)>，x>0. 1＋x11n＋1* 令x＝，n∈N，则 nn＋1n下面用数学归纳法证明． 1 ①当n＝1时， 2 111 ②假设当n＝k时结论成立，即＋＋…＋ 23k＋1 11111k＋2 那么，当n＝k＋1时，＋＋…＋＋ 23k＋1k＋2k＋2k＋12)，即结论成立． 由①②可知，结论对n∈N成立． 题型三 归纳—猜想—证明 命题点1 与函数关系式有关的证明 11* 例3 已知数列{xn}满足x1＝，xn＋1＝，n∈N.猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结 21＋xn论． 11 解 由x1＝及xn＋1＝， 21＋xn2513 得x2＝，x4＝，x6＝， 3821 由x2>x4>x6猜想：数列{x2n}是递减数列． 下面用数学归纳法证明： (1)当n＝1时，已证命题成立． (2)假设当n＝k时命题成立，即x2k>x2k＋2， 易知xk>0，那么 * xx2k＋2－x2k＋4＝ ＝ 11 － 1＋x2k＋11＋x2k＋3 x2k＋3－x2k＋1 ＋x2k＋1＋x2k＋3 ＝＝ 11 － 1＋x2k＋21＋x2k ＋x2k＋1＋x2k＋3 x2k－x2k＋2 ＋x2k＋x2k＋1 ＋x2k＋2 ＋x2k＋3 >0， 即x2(k＋1)>x2(k＋1)＋2. 所以当n＝k＋1时命题也成立． 结合(1)(2)知，对于任何n∈N命题成立． 命题点2 与数列通项公式、前n项和公式有关的证明 * an1* 例4 已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝＋－1，且an>0，n∈N. 2an(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式； (2)证明通项公式的正确性． (1)解 当n＝1时， a112 由已知得a1＝＋－1，a1＋2a1－2＝0. 2a1 ∴a1＝3－1(an>0)． a21 当n＝2时，由已知得a1＋a2＝＋－1， 2a2 将a1＝3－1代入并整理得a2＋23a2－2＝0. ∴a2＝5－3(an>0)． 同理可得a3＝7－5. 猜想an＝2n＋1－2n－1(n∈N)． (2)证明 ①由(1)知，当n＝1,2,3时，通项公式成立． ②假设当n＝k(k≥3，k∈N)时，通项公式成立， 即ak＝2k＋1－2k－1. 由ak＋1＝Sk＋1－Sk＝* *2 ak＋1 2 ＋ ak1－－， ak＋12ak1 将ak＝2k＋1－2k－1代入上式并整理得 a2k＋1＋22k＋1ak＋1－2＝0， 解得：ak＋1＝2k＋3－2k＋1(an>0)． 即当n＝k＋1时，通项公式也成立． 由①和②可知，对所有n∈N，an＝2n＋1－2n－1都成立． 命题点3 存在性问题的证明 例5 (xx·重庆)设a1＝1，an＋1＝an－2an＋2＋b(n∈N)． 2 * * (1)若b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式； (2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2n 从而数列{(an－1)}是首项为0，公差为1的等差数列， 故(an－1)＝n－1，即an＝n－1＋1(n∈N)． 方法二 a2＝2，a3＝2＋1. 可写为a1＝1－1＋1，a2＝2－1＋1，a3＝3－1＋1. 因此猜想an＝n－1＋1. 下面用数学归纳法证明上式： 当n＝1时结论显然成立． 假设n＝k时结论成立，即ak＝k－1＋1， 则ak＋1＝＝ 2 * 2 2 2 * ak－ 2＋1＋1＝k－＋1＋1 k＋－1＋1. 所以当n＝k＋1时结论成立． 所以an＝n－1＋1(n∈N)． (2)方法一 设f(x)＝则an＋1＝f(an)． 令c＝f(c)，即c＝1 解得c＝. 4 下面用数学归纳法证明加强命题： * x－ 2＋1－1， c－ 2 ＋1－1， a2n 当n＝1时，a2＝f(1)＝0，a3＝f(0)＝2－1， 1 所以a2< 4 假设n＝k时结论成立，即a2k 易知f(x)在(－∞，1]上为减函数，从而c＝f(c)>f(a2k＋1)>f(1)＝a2，即1>c>a2k＋2>a2. 再由f(x)在(－∞，1]上为减函数，得c＝f(c) 这就是说，当n＝k＋1时结论成立． 1 综上，符合条件的c存在，其中一个值为c＝. 4方法二 设f(x)＝ x－ 2 ＋1－1，
