北师大版数学选修2-2 第三章 导数应用 编号：03 审核： 审批： 班级： 小组： 姓名： 组内评价： 教师评价：
2.1实际问题中导数的意义
【学习目标】1．进一步理解导数概念，会利用导数概念形成过程中的基本思想分析一些实际问题，并建立它们的导数模型； 2.进一步体会和应用极限思想，学会用极限的思想分析并解决问题； 3.通过不同背景的问题解决最后统一为导数模型的过程，认识到数学与生活的关系和数学在实用性方面的巨大力量，进而对数学中蕴涵的理性美产生发自内心的欣赏情感． 【学习重点】理解导数概念，并利用导数概念形成过程中的基本思想分析问题； 【学习难点】实际问题导数模型的建立．
一、复习回顾
1．什么是平均变化率？
2．什么是瞬时变化率？
二、预习自测
1．如果物体做直线运动的方程为s(t)＝2(1－t)2，则其在t＝4 s时的瞬时速度为( ) A．12 B．－12 C．4 D．－4 2．从时间t＝0开始的t s内，通过某导体的电量(单位：C)可由公式q＝2t2＋3t表示，则第5 s时的电流强度为( ) A．27 C/s B．20 C/s C．25 C/s D．23 C/s
3．球的半径从1增加到2时，球的体积的平均膨胀率为______．
4．如果一质点从固定点A开始运动，位移s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为y＝s(t)＝t3＋3． 求：(1)t＝4时，物体的位移s(4)；(2)t＝4时，物体的速度v(4)；(3)t＝4时，物体的加速度a(4)．
三．合作探究
一．导数在日常生活中的应用
例1：一名工人上班后开始连续工作，生产的产品数量y（单位：g）是工作时间x（单位：h）的函数，设这
个函数表达式为y?f(x)?x220?4x．（1）求x从1h变到4h时，y关于时间x的平均变化率，并解释它的实际意义；（2）求f'(1),f'(4)，并解释它们的意义．
变式1：蜥蜴的体温与阳光的照射有关，已知关系式为T(t)?120t?5?15，其中T(t)为体温（单位：?C）
，t为太阳落山后的时间（单位：min）．（1）从t?0min到t?10min，蜥蜴的体温下降了多少？（2）从t?0min到t?10min，蜥蜴的体温下降的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？（3）求T'(5)并解释它的实际意义．
二．导数在物理学中的应用
例2：某河流在一段时间x min内流过的水量为y m3，y是x的函数，y＝f(x)＝3
x．(1)当x从1变到8时，y关于x的平均变化率是多少？(2)求f′(27)，并解释它的实际意义．
变式2：在高台跳水中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)，与起跳后的时间t(单位：s)间的关系式为h(t)＝－
4.9t2＋6.5t＋10，求运动员在t＝65
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s时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．
三．导数在实际问题中的含义
例3：已知某产品生产成本C与产量q的函数关系式为C＝100＋4q，价格p与产量q的函数关系式为p＝25－1
8q． (1)求q从1变到3时，利润L关于产品数量q的平均变化率；(2)求L′(2)并解析它的实际意义．
变式3：某人拉一车前行，他所做的功(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，其函数关系式为W(t)?t3?2t?1．(1)求t从1 s变到3 s时，功W关于时间t的平均变化率；并解释其意义；(2)求W'(1)，W'(2)，解释它们的意义．
※当堂检测：
1．一个膨胀中的球形气球，其体积的膨胀率为0.3m3/s，则其半径增至1.5m时，半径的增长率是________。 2．将水注入圆锥形容器中，其速度为4m3/min，设圆锥形容器的高为8m，顶口直径为6m，求当水深为5m时，水面上升的速度
3．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s?3t?t2. (1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t?2时的瞬时速度； (3)求t?0到t?2时的平均速度．
