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夸克之间的相互作用力F与它们之间的距离r的关系为：
? 0, 0＜r＜r1?F???F0, r1≤r≤r2? 0, r＞r?2
式中F0为大于零的常量，负号表示引力．用U表示夸克间的势能，令U0＝F0(r2—r1)，取无穷远为势能零点．下列7-11所示U－r图示中正确的是 （ ）
U O －U0 r1 r2 r U O －U0 r1 r2 r U O －U0 r1 r2 r U U0 A B C O r1 r2 r D
图7-11 画龙点睛 该题在基本物理知识的背景下，实际上纯粹考查数学知识，即数学分段函数的理解。能够从物理知识与情景中找到数学分段函数即可获取正确的图象。在物理知识中需要运用势能值与两夸克之间的相互作用力做功的值大小相等，这样从无穷远处开始逐渐缩小距离到r=r2，从r=r2到r=r1，从r=r1缩小到最小距离，三个过程，三段函数图象。
正确析解
从无穷远处电势为零开始到r = r2位置，势能恒定为零，在r = r2到r = r1过程中，恒定引力做正功，势能逐渐均匀减小，即势能为负值且越来越小，此部分图像为A、B选项中所示；r ＜ r1之后势能不变，恒定为－U0，由引力做功等于势能将少量，故U0=F0(r2－r1)。本题答案B。
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训练——能力提升 【训1】 [2008年高考四川卷·18·函数与物理图象]一物体沿固定斜面从静止开始向下运动，经过时间t0
滑至斜面底端。已知在物体运动过程中物体所受的摩擦力恒定。若用F、v、s和E分别表示该物体所受的合力、物体的速度、位移和机械能，则下列图象中可能正确的是
F v s E O A．
t0 t O B．
t0 t O C．
t0 t O D．
t0 t
【答案】AD
【解析】物体在沿斜面向下滑动过程中，所受的合力为重力沿斜面向下的分力及摩擦力，故大小不变，A12
正确；而物体在此合力作用下作匀加速运动，v=at，s=at，所以B、C错；物体受摩擦力作用，总的机械
2能将减小，D正确． 【训2】 [改编题·函数与物理图象] 如图所示，水平地面上放置一个质量为m的物体，在与水平方向成θ角的斜向右上方的拉力F的作用下沿水平地面运动，物体与地面间的动摩擦因数为μ。求：
（1）若物体在拉力F的作用下能始终沿水平面向右运动，拉力F的大小范围；
v F θ （2）若物体受到拉力F的作用后，从静止开始向右做匀加速直线运动，2 s后撤去拉力，已知F＝100 N、m＝10 kg、μ＝0.5、θ＝37°，撤去拉力后物体滑行的时间t； （3）已知m＝10 kg、μ＝0.5，若物体以恒定加速度a＝5 m/s2向右做匀加速直线运动，，维持这一加速度的拉力F的最小值。
【解析】 （1）要使物体运动时不离开水平面，应有Fsinθ≤mg， 要物体能向右运动，应有Fcosθ≥?（mgμmgmg
－Fsinθ），所以≤F≤
cosθ＋μsinθsinθ
（2）Fcosθ－?（mg－Fsinθ）＝ma1，a1＝6 m/s2，
?mg＝ma2，a2＝5 m/s2， v＝a1t1＝a2t2，所以t2＝2.4s （3）Fcosθ－?（mg－Fsinθ）＝ma，
1－1
，其中?＝sin，
22
1＋?sin（θ＋?） 1＋?μmg＋ma
当sin（θ＋?）＝1时F有最小值，Fmin＝＝405N≈89.4N
2
1＋? 【训3】 [模拟题·矢量三角形] 一条河宽L=60m，水速v水=4m/s，船在静水中的开行速度v开=3m/s。 （1）求小船渡河的最短时间t，这样渡河船的位移是多少？
s （2）小船渡河的最小位移是多少？
v开 v合 【解析】（1）小船渡河的运动可看作是小船在静水中的运动与水的运动两个运
v水 动的合成。由分运动之间互不影响，且河岸的宽度是一定的，只要小船在垂直
a 武汉市光谷第二高级中学 10 http://gg2g.blog.whjy.net F＝
μmg＋ma
F＝cosθ＋μsinθ
μmg＋ma
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于河岸方向的分速度越大，小船渡河的时间就越短，即当小船船头垂直于河岸方向运动时（如图a），时间最短：
tmin=L/v开=60/3s=20s， s=v合tmin=5×20m=100m
（2）运动的合成与分解遵循平行四边形定则，由v开< v水，即小船不可能垂直到达对岸。只有当v开、v水两个速度的合速度与河岸的夹角越大，则小船的实际位移越小。把代表v开的有向线段移到代表v水的有向线段端点，如图b所示，可见：改变船头的方向，有向线段v开的箭头端点始终在一圆弧上。随着船头方向的改变，合速度的方向也随之改变。只有当船头的朝向与合运动的方向垂直时，θ 有最小值。由几何知识可得：cosθ=v开/ v水=3/4，又cosθ=L/smin，即smin =80m。
v合 θ s v开 v水 b
【训4】 [模拟题·函数与极值] 一轻绳一端固定在O点，另一端拴一小球，拉起小球使轻绳水平，然后无初速度的释放，如图所示，小球在运动至轻绳达到竖直位置的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最大值？
【解析】当小球运动到绳与竖直方向成θ角的C时，重力的功率为：P=mgvcosα=mgvsinθ
12
小球从水平位置到图中C位置时，机械能守恒有：mgLcosθ=mv，联立解
2得：
P=mg2gLcosθsinθ， 令y=cosθsinθ=
2
2O θ L A T C α θ 124
(2cosθsinθ) =21224(2cosθsinθsinθ) 2
3
v B
mg 根据：2cos2θ+sin2θ+sin2θ=2(sin2θ+cos2θ)=2，由基本不等式a+b+c≥3abc， 定和求积知：当且仅当2cos2θ = sin2θ，y有最大值。由2cos2θ=1－cos2θ，得：cosθ=即：当cosθ=3。 3
3
时，功率P有最大值。 3
【训5】 [2008年高考四川卷·24·判别式与极值] 如图，一半径为R的光滑绝缘半球面开口向下，固定在水平面上。整个空间存在匀强磁场，磁感应强度方向竖直向下。一电荷量为q（q＞0）、质量为m的小球P在球面上做水平的匀速圆周运动，圆心为O’。球π心O到该圆周上任一点的连线与竖直方向的夹角为θ（0＜θ＜）。为了使小球
2能够在该圆周上运动，求磁感应强度大小的最小值及小球P相应的速率。重力加速度为g。
【解析】据题意，小球P在球面上做水平的匀速圆周运动，该圆周的圆心为O’。P受到向下的重力mg、球面对它沿OP方向的支持力N和磁场的洛仑兹力：f＝qvB
式中v为小球运动的速率。洛仑兹力f的方向指向O’。根据牛顿第二定律： v
Ncosθ－mg=0，f－Nsinθ=m
Rsinθ联立解得：v由此得B≥
22
?qBRsin?mgRcos?v?qRsin?cos?2?0，由于v
4gRsin??qBRsin??是实数，必须满足?????mcos???22≥0
2mq，
?2mqgRcos?可见，为了使小球能够在该圆周上运动，磁感应强度大小的最小值为Bmin
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此时，带电小球做匀速圆周运动的速率为：v?故：v?gRcos?sin?qBminRsin?2m
【训6】 [模拟题·数学归纳法与碰撞] 滑块A质量m=0.01kg，与水平地面间的动摩擦因数μ=0.2。用细线悬挂的小球质量均为m' =0.01kg且沿x轴均匀排列，A与第一只小球及小球与相邻小球距离均为s=2m，从左至右悬挂小球的线长分别为L1、L2、L3……。当A与第一只球间距为2 m时的运动速度v0=10m/s且正好沿着x轴正向运动，不计滑块和小球大小且当滑块与球发生碰撞时机械能不损失，碰后任一小球均恰好能在竖直平面内作完整的圆周运动。求：（g=10m/s）
（1）最左侧悬挂小球的线长L1为多少?
（2）滑块在运动中能与几个小球发生碰撞。
（3）求出碰撞中第n个小球悬线长Ln的表达式。
O1 L1
O2
O3
m
L2
L3
x
2
【解析】由于m滑块＝m小球，所以，当滑块与球或球与滑块发生弹性正碰时，碰撞前后两者的速度发生互换，因此每次球与滑块碰后滑块均沿某初速方向向前运动直至停止。
1122
（1）设滑块与第一个球碰前的速度为v1 ，由动能定理 －mgμs＝mv1－mv0
22滑块与第一个球碰后瞬间球的速度v'1＝v1，对球在上升过程中，由机械能守恒定律有： 11mv2222
mv＝2mgL1+mv2 ，又因为球在最高点时，由牛顿第二定律有：mg= 212L1v02 - 2μgs悬挂在最左侧第一个球的绳长L1＝＝1.84m
5g
1
（2）对滑块由动能定理：－μmgs0＝0－mv02 ，滑块滑行的总路程：s0＝25m
2s
则滑块在滑行过程中与小球碰撞的个数：N＝0＝12.5，即12个。
s（3）设滑块与第n（n≤12）个球碰前速度为vn
1122
则－μmgns＝mvn－mv0 ，则滑块一球碰后，球的速度v'n＝vn ，若连接第n个球的悬线长为Ln，
221212
球运动到最高点的速度为v\ n，对小球，由机械能守恒定律mv'n=mv\n －2mgLn，且在最高点，由牛顿
22mv\n2v02 - 2μgns
第二定律 mg＝，联立可得Ln＝＝2－0.16n（m），其中n＝1，2，3，……，12 。
Ln5g
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