苏州市2015～2016学年第一学期高三期中调研试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1.设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝____________． 2.函数y＝ln(x2－x－2)的定义域是____________．
π1
3.已知sinα＝，且α∈?，π?，则tanα＝____________．
4?2?
4.定义在R上的奇函数f(x)，当x＞0时，f(x)＝2x－x2，则f(－1)＋f(0)＋f(3)＝____________． 5.函数y＝3sinx－cosx－2(x＞0)的值域是____________．
6.等差数列{an}中，前n项和为Sn，若S4＝8a1，a4＝4＋a2，则S10＝__________．
x??2－4，x＞0，
7.设函数f(x)＝?若f(a)＞f(1)，则实数a的取值范围是______________．
?－x－3，x＜0，?
8.等比数列{an}的公比大于1，a5－a1＝15，a4－a2＝6，则a3＝____________．
ππ
9.将函数y＝sin?2x＋?的图象向右平移φ?0＜φ＜?个单位后，得到函数f(x)的图象，若函数f(x)是偶函数，
6?2???
则φ的值等于________．
b
10.已知函数f(x)＝ax＋(a，b∈R，b＞0)的图象在点P(1，f(1))处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，且函数
x
1?f(x)在区间??2，＋∞?上单调递增，则b的最大值等于__________．
11.已知f(m)＝(3m－1)a＋b－2m，当m∈[0，1]时，f(m)≤1恒成立，则a＋b的最大值是__________．
1
12.△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若tanA＝2tanB，a2－b2＝c，则c＝____________．
3
1x
13.已知x＋y＝1，y＞0，x＞0，则＋的最小值为____________．
2xy＋1
14.设f′(x)和g′(x)分别是函数f(x)和g(x)的导函数，若f′(x)·g′(x)≤0在区间I上恒成立，则称函数f(x)和g(x)
1
在区间I上单调性相反．若函数f(x)＝x3－2ax与函数g(x)＝x2＋2bx在开区间(a，b)(a＞0)上单调性相反，则b
3
－a的最大值等于____________．
二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分14分)
ωxωxωx
已知函数f(x)＝2cos?3cos－sin?(ω＞0)的最小正周期为2π.
2?22?
(1) 求函数f(x)的表达式；
π6
(2) 设θ∈?0，?，且f(θ)＝3＋，求cosθ的值．
52??
16.(本小题满分14分)
＋
设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n1＋1，且a1，a2＋5，a3成等差数列． (1) 求a1，a2的值；
(2) 求证：数列{an＋2n}是等比数列，并求数列{an}的通项公式．
17.(本小题满分14分)
已知函数f(x)＝x2－2ax＋1.
(1) 若函数g(x)＝loga[f(x)＋a](a＞0，a≠1)的定义域是R，求实数a的取值范围；
f（x）
(2) 当x＞0时，恒有不等式＞lnx成立，求实数a的取值范围．
x
18.(本小题满分16分)
如图，在海岸线l一侧C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在l上设立了A，B两个报名点，满足A，B，C中任意两点间的距离为10km.公司拟按以下思路运作：先将A，B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处(点D异于A，B两点)，然后乘同一艘游轮前往C岛．据统计，每批游客A处需发车2辆，B处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费2a元，游轮每千米耗费12a元．(其中a是正常数)设∠CDA＝α，每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本为S元．
(1) 写出S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围； (2) 问：中转点D距离A处多远时，S最小？
19.(本小题满分16分)
设函数f(x)＝x|x－1|＋m，g(x)＝lnx.
(1) 当m＞1时，求函数y＝f(x)在[0，m]上的最大值；
(2) 记函数p(x)＝f(x)－g(x)，若函数p(x)有零点，求实数m的取值范围．
20.(本小题满分16分)
已知数列{an}的奇数项是公差为d1的等差数列，偶数项是公差为d2的等差数列，Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，a2＝2.
(1) 若S5＝16，a4＝a5，求a10；
(2) 已知S15＝15a8，且对任意n∈N*，有an＜an＋1恒成立，求证：数列{an}是等差数列；
(3) 若d1＝3d2(d1≠0)，且存在正整数m，n(m≠n)，使得am＝an.求当d1最大时，数列{an}的通项公式．
1.{x|0≤x≤2} 解析：本题主要考查集合的概念与运算等基础知识．本题属于容易题．
2.(－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析：由x2－x－2＞0，则x＞2或x<1.本题主要考查对数式中真数大于0，以及一元二次不等式的解法．本题属于容易题．
sinαπ1511515
3.－ 解析：由sinα＝，α∈?，π?，得cosα＝－，则tanα＝＝－.本题主要考查同
154415?2?cosα
角三角函数关系．本题属于容易题．
4.－2 解析：由函数f(x)在R上是奇函数，则f(0) ＝0，又x＞0时，f(x)＝2x－x2，则f(3)＝－1，f(－1)＝－f(1)＝－1，则f(－1)＋f(0)＋f(3)＝－2.本题主要考查奇函数的性质．本题属于容易题．
π
5.[－4，0] 解析：由y＝3sinx－cosx－2＝2sin?x－?－2，则－4≤y≤0.本题主要考查三角函数的值域，
6??
以及和差角公式的逆用．本题属于容易题．
6.120 解析：由S4＝8a1，a4＝4＋a2得d＝2，a1＝3，则S10＝10a1＋45d＝120.本题主要考查等差数列通项公式以及求和公式．本题属于容易题．
7.a＜－1或a＞1 解析：由f(1)＝－2，则f(a)＞－2.当a>0时，有2a－4>－2，则a>1；当a＜0时，－x－3＞－2，则a＜－1.所以实数a的取值范围是a＜－1或a＞1.本题主要考查分段函数，以及简单不等式的解法．本题属于容易题．
8.4 解析：由a5－a1＝15，a4－a2＝6(q>1)，得q＝2，a1＝1，则a3＝4.本题主要考查等比数列通项公式．本题属于容易题．
ππππ
9. 解析：由函数y＝sin?2x＋?的图象向右平移φ?0＜φ＜?个单位后，得到函数f(x)＝sin(2x＋－2φ)366?2???
πππ
的图象，函数f(x)是偶函数，－2φ＝＋kπ，而φ为锐角，则k＝－1时φ＝.本题主要考查三角函数的图象
623
变换，以及三角函数的奇偶性．本题属于容易题．
2b
10. 解析：函数f(x)＝ax＋(a，b∈R，b＞0)的图象在点P(1，f(1))处的切线斜率为2, f′(1)＝2，得a－b3x
1a2?1，＋∞?上恒成立，，＋∞?上单调递增，＝2，由函数f(x)在区间?f′(x)≥0在区间得≥b，又a＝2＋b，则b≤.?2??2?43
本题主要考查导数的几何意义，导数在单调性中的运用以及恒成立问题．本题属于中等题．
7211. 解析：将已知条件变形f(m)＝m(3a－2)＋b－a，当3a－2＝0时，即a＝，则有b－a≤1，即b≤a＋1，33
272
所以a＋b≤2a＋1＝2×＋1＝；当3a－2＞0，即a＞时，函数f(m)在[0，1]上单调递增，f(m)max＝f(1)＝3a－2
333
72
＋b－a＝2a＋b－2≤1，则b≤3－2a，所以a＋b≤a＋3－2a＝3－a＜；当3a－2＜0，即a＜时，函数f(m)在[0，
33
77
1]上单调递减，f(m)max＝f(0)＝b－a≤1，则b≤a＋1，所以a＋b≤2a＋1＜.综上所述，a＋b的最大值为.本题主
33
要考查在多元变量中如何变换主元以及借助单调性求最值来解决不等式的恒成立问题．本题属于中等题．
sinAsinB2abc2abc
12.1 解析：由tanA＝2tanB＝2，结合正、余弦定理转化为边的关系，有222＝2×22，cosAcosBb＋c－aa＋c－b21
化简有a2－b2＝c2，结合已知条件有c＝1.本题主要考查利用正、余弦定理解三角形以及三角函数中遇切化弦．本
3
题属于中等题．
x＋y1＋t51xx1y1y1
13. 解析：将x＋y＝1代入＋中，得＋＝＋＋，设＝t＞0，则原式＝＋42xy＋12xx＋2y22x2yx21＋2t
1＋
x
2t2＋3t＋31（1＋2t）2＋2t＋1＋41414151＝＝·＝[(1＋2t)＋＋1]≥×2（1＋2t）·＋＝，当且仅当t＝4422（1＋2t）41＋2t1＋2t1＋2t44
21
时，即x＝，y＝时，取“＝”．本题主要考查利用代数式变形，以及利用基本不等式求最值．本题属于难题．
3311
14. 解析：因为g(x)＝x2＋2bx在区间(a，b)上为单调增函数，所以f(x)＝x3－2ax在区间(a，b)上单调减，23
2bb2112
故x∈(a，b)，f′(x)＝x－2a≤0，即a≥，而b＞a，所以b∈(0，2)，b－a≤b－＝－(b－1)2＋，当b＝1
2222
1
时，b－a的最大值为.本题主要考查二次函数的单调性、最值问题和导数在单调性中的运用以及恒成立问题．本
2
题属于难题.
ωxωxωxωxωxωx
15.解：(1) f(x)＝2cos?3cos－sin?＝23cos2－2cossin＝3(1＋cosωx)－sinωx(2分)
2?22222?π
＝3－2sin?ωx－?.(4分)
3??
2π
∵函数f(x)的最小正周期为2π，∴＝2π，ω＝1.(6分)
ω
π
∴f(x)＝3－2sin?x－?.(7分)
3??
π63
(2) 由f(θ)＝3＋，得sin?θ－?＝－.
553??
ππππ
∵θ∈?0，?，∴θ－∈?－，?，
3?36?2??
π4
∴cos?θ－?＝.(9分)
3?5?
ππ
∴cosθ＝cos?θ－＋?
33??ππππ
＝cos?θ－?cos－sin?θ－?sin(12分)
33?3?3??34134＋33－?×＝＝×－?.(14分)
52?5?210
16.(1) 解：由已知，得2a1＝a2－3 ①，
