皖西学院本科毕业论文（设计）
皖 西 学 院 本科毕业论文（设计）
论 文 题 目
构 造 法 在 解 题 中 的 应 用 彭 小 飞 (20072068) 应 用 数 学 学 院 数 学 与 应 用 数 学 邵 毅 姓名（学号） 系 别 专 业 导 师 姓 名
二〇一一年五月
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构造法在解题中的应用
作 者 指导教师
摘要：构造法作为数学的一种重要的思想方法，它最大的特点是：创造性地使用已知条件；实质就是依据某些数学问题的条件或结论所具有的典型特征，用已知条件中的元素为“元件”，用已知的数学关系为“支架”，在思维中构造出一种相关的数学对象，一种新的数学形式。构造法的内涵十分丰富并且没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛的普遍性和特殊性的现实问题为基础，针对具体问题所呈现出的特点而采取相应的解决问题的办法，在数学解题尤其是高等数学解题中具有广泛的应用。本文主要基于构造法的相关理论探讨它在解决数学分析、代数、几何、三角函数等高等数学问题中的应用。
关键词：数学思想方法；构造法；解题及应用.
Abstract：与中文摘要对应。（五号、Times New Roman） Key words：与中文关键词对应。（五号、Times New Roman）
彭小飞 邵 毅
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目 录
第一章 引 言 ................................................................... 4 第二章 构造法概述 .............................................................. 5
1 欧几里德的定理 ........................................................... 5 2 构造法的历史 ............................................................. 5
2.1直觉数学阶段 ....................................................... 5 2.2算法数学阶段 ....................................................... 5 2.3现代构造数学阶段 .................................................... 6 3 构造法的基本概念 ......................................................... 7 第三章构造法与解题 ............................................................. 8
1 构造辅助元素 ............................................................. 8
1.1构造法在解决数学分析问题中的应用 .................................... 8 2.1构造法在解决代数问题中的应用 ....................................... 14 3.1构造法在解决几何问题中的应用 ....................................... 16 4.1构造法在解决三角函数问题中的应用 ................................... 17 2 构造结论 ................................................................ 20
2.1构造 “算法” ...................................................... 20 2.2构造特例 ........................................................... 20 3 构造矛盾 ................................................................ 20 4 构造反例 ................................................................ 20 第四章 构造法的优点 ........................................................... 21
1 还原功能 ................................................................ 21 2 分解功能 ................................................................ 21 3 简化功能 ................................................................ 21 4 数形转换功能 ............................................................ 21 第五章 结 语 .................................................................. 22 第六章 致 谢 .................................................................. 23 参考文献 ...................................................................... 24
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第一章 引 言
在科学发展的历史中我们可以看到，科学的发展总是和思维的发展有着紧密的联系。它经历了一个从低级到高级，从简单到复杂，从具体到概括的发展历程。数学的发展也不例外，因此许多杰出的科学家都十分注重数学思想和方法在数学发现，数学创造中的作用。显然，数学思维的作用是多方面的，它不仅是推动数学发展的重要力量，在与我们日常学习息息相关的解题中也有巨大的作用。
数学的主要思维方法是什么？这是数学家们历来关注的一个重要问题。20世纪初以来，围绕什么是数学的基础的讨论，逐步形成了三个不同的学派：逻辑派、直觉派和形式公理派。从思维方式上看数学基础问题的讨论，在逻辑主义学派看来，数学的主要思维方法是逻辑思维；在直觉主义学派看来，数学的主要是直觉（或灵感）思维；在形式主义学派看来，数学的主要思维方式是以符号为特征的纯粹性的抽象思维。到底什么是数学的主要思维方式，辩证思维在数学尤其是高等数学中占有怎样的地位，仍是一些尚待解决的问题。
数学中的一些常用方法，诸如公理法、模型法、构造法、解析法、递归法、极限法、逐次逼近法、统计法、对偶法、关系映射反演法、数学归纳法、反证法等都是大家熟悉的，那么这些方法是怎样产生和发展的，其作用和特征又是如何呢？从数学发展史上看，长期以来，数学家们对自己所从事研究领域的方法是重视的，并且有许多发明和创造。对数学思想方法本身的研究有着很重要的意义：有利于培养数学能力和改革数学教育；有利于充分发挥数学的功能；有利于充分认识数学本质与全面把握数学发展规律。我们相信，数学思想方法作为一个独立的研究领域，必将不断取得新的研究成果，为数学、自然科学、教育科学与哲学的发展，做出应有的贡献。数学方法产生与数学知识，而数学知识又蕴藏着数学思想，两者相辅相成，密不可分。数学思想方法是处理数学问题的指导思想和基本策略，是数学的灵魂。
构造法作为数学的一种重要的思想方法，它最大的特点是：创造性地使用已知条件。构造法的内涵十分丰富并且没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛的普遍性和特殊性的现实问题为基础，针对具体问题所呈现出的特点而采取相应的解决问题的办法，在数学解题尤其是高等数学解题中具有广泛的应用。本文主要基于构造法的相关理论探讨它在解决几何、代数、三角函数、复数等高等数学问题中的应用。
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