值分别为U0和V0。进一步假设U和V之间的瞬时相关关系为?，则零时刻期权的价值为
V0e?qVTN?d1??U0e?qUTN?d2?
2其中d1??ln?V0U0??qU?qV???T??2?T
?T d2?d1?????22?U??V?2??U?V
以上这个公式有两个方面值得注意：一是该公式是独立于无风险利率r的。这是因为当r上升的时候，风险中性世界中的两种资产价格增长率都上升了，但
?是V是这被贴现率的上升抵消了。第二，变量?U的波动率，这样这个期权可以
理解为U0份标的资产价格为VU、执行价格为1的欧式看涨期权的价格，其中
无风险利率是qU，资产红利率为qV。Mark Rubinstein证明美式资产交换期权也有相同的性质。
如果一个期权可以让持有者在到期时选择两个资产中较好或较差的一种，这个期权可以看成是由其中一个资产的头寸和一份这两个资产之间的交换期权的组合：
min?UT,VT??VT?max?VT?UT,0? max?UT,VT??UT?max?VT?UT,0?
奇异期权是世界上最具有生命力的金融工具之一，它的内涵和外延无时不处在变化和拓展当中，没有人能够说出究竟有多少种奇异期权，也没有人能够精确地对它们进行分类和完全描述，我们上面介绍的只是最常见的一部分奇异期权。只要市场需要，奇异期权就会不断延展不断衍生，我们过去或现在称之为奇异期权的东西，也正在成为进一步衍生的基础。我们可以举一些有趣的例子：
部分回溯期权，其回溯时段只是期权有效期的一部分，而不再是整个有效期，这样期权价格会有所下降，对于那些认为资产价格只可能在一段时间内发生有利变化的投资者来说，就是很有吸引力的。
俄式期权，是一种永远不会到期的美式回溯期权，期权持有者可以选择任意时刻执行，执行时收到资产价格的历史最大值（这时回溯时段是整个历史）。
梯子期权，一种离散取样的回溯期权，但离散取样的是资产价格而非时间，假设设定的价格梯子是5美元，10美元，……，55美元，60美元，…，如果回溯期内资产价格的最大值是58，则使用55美元作为计算回报的最大值。
回溯－亚式期权，这种期权的价值受到多个路径依赖变量的影响，是回溯期权和亚式期权的结合。
巴黎期权，是一种障碍期权，但是其障碍特征只有在标的资产价格在障碍值之外保持了预先要求的时间长度之后，才会被触发。
??
可见，奇异期权确实是无法尽述的，可以说，它的丰富多变就是金融工程的核心和魅力的体现。前面所介绍的定价方法为我们提供了为期权定价的基本思路和方法，我们可以根据期权的不同特征，将它们分别应用到新的期权定价中去。 小结
1. 奇异期权的基本类型包括分拆与组合、弱式路径依赖、强式路径依赖、时间依赖、维数和阶数。
2. 奇异期权的变化很多，并且处在不断的衍生和变化当中。
3. 障碍期权的回报依赖于标的资产的价格在特定时间内是否达到了一个特定的水平，一般可以分为敲出期权、敲入期权、向上期权和向下期权等。障碍期权属于弱式路径依赖期权。
4. 亚式期权的回报依赖于标的资产在一段时间内的平均价格，回溯期权的损益则依赖于标的资产在某个确定的时段中达到的最大或最小价格，它们都属于强式路径依赖期权。
5. 其他的奇异期权还包括两值期权（现金或无价值期权、资产或无价值期权）、打包期权（由期权和其他金融资产组成的证券组合）、远期开始期权（现在支付期权费而在未来某时刻才开始的期权）、二阶期权（复合期权和选择者期权）、多资产期权（多个标的资产的期权）以及呐喊期权等等。
6. 大多数奇异期权和路径依赖期权的定价仍然可以在布莱克－舒尔斯模型框架中进行。例如障碍期权中的障碍条件主要反映在相应的边界条件上，连续平均的亚式期权在原来的偏微分方程中加进了对新的平均值变量的一阶偏导。我们也可以得到其中一些奇异期权的定价公式。但是大部分情况下，我们无法得到精确的解析解，或者是这些公式难以在实际中运用，大多时候人们是用数值方法或是近似方法来为奇异期权和路径依赖期权定价。
7. 蒙特卡罗模拟常用于处理路径依赖期权，但缺点是收敛缓慢，为此，人们对树图方法进行了多种改进，使之可以用于估计许多路径依赖型的期权价格。 8. 有些奇异期权比常规期权更容易保值，如亚式期权，另一些奇异期权则更难保值，如障碍期权，现实中人们使用静态期权复制的方法来为之保值。
附录9A：基本障碍期权的定价公式
公式中用到的符号含义如前文所述，令
?H?a????S??H?b????S??1?2r?2，
1?2r
?2，
lnS
?d1????r???X2?12???T?t???lnS，
T?t
?d2?12????r????T?t?X2????lnS，
T?t
?d3?12????r????T?t?H2????lnST?t,
?d4????r???H2?12???T?t???lnST?t,
?d5?12????r????T?t?H2????lnST?t,
?d6????r???H2?12???T?t???lnSXT?t
d7??H2??12????r????T?t?2???lnSXT?t，
d8??H212????r????T?t?2???T?t
则障碍期权公式如下：
1.向上敲出看涨期权
SN?d1??N?d3??b??N?d6??N?d8????Ee???r?T?t??N?d42??N?d4??a??N?d5??N?d7????2.向上敲入看涨期权
SN?d3??b??N?d6??N?d8????Ee???r?T?t??N?d??a??N?d5??N?d7????
3. 向下敲出看涨期权 （1）X?H时，
SN?d1??b??1?N?d8????Ee???r?T?t??N?d2??a??1?N?d7????
（2）X?H时，
SN?d3??b??1?N?d6????Ee???r?T?t??N?d4??a??1?N?d5????
4.向下敲入看涨期权
（1）X?H时，
Sb??1?N?d8????Ee?r?T?t?a??1?N?d7???
（2）X?H时，
SN?d1??N?d3??b??1?N?d6????Ee???r?T?t??N?d2??N?d4??a??1?N?d5????
5. 下降敲出看跌期权
Ee?r?T?t??N?d4??N?d2??a??N?d7??N?d5?????S?N?d3??N?d1??b??N?d8??N?d6??????a??N?d7??N?d5?????S?1?N?d3??b??N?d8??N?d6????
6. 下降敲入看跌期权
Ee?r?T?t??1?N?d47.上升敲出看跌期权
（1）X?H时，
Ee?r?T?t??1?N?d?r?T?t?2??a??N?d7??N?d5?????S??1?N?d1??bN?d8???
（2）X?H时，
Ee??1?N?d4??aN?d7????S??1?N?d3??bN?d6???
8.上升敲出看跌期权
（1）X?H时，
Ee?r?T?t???N?d4??N?d2??aN?d5????S??N?d3??N?d1??bN?d6???
（2）X?H时，
Ee?r?T?t???1?N?d4??aN?d5????S??1?N?d3??bN?d6???
附录9B：固定执行价回溯期权定价公式
一、固定执行价回溯看涨期权
固定执行价回溯看涨期权的回报为
max?M?X,0?
其中M是目前已经实现的最大值。在布莱克-舒尔斯模型框架下，
1. 当X?M时，期权价值为
