例3 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、B、C、D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm.
2
(1) 某广告商要求包装盒侧面积S(cm)最大，试问x应取何值？
3
(2) 某厂商要求包装盒容积V(cm)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
解：(1) S＝60－4x－(60－2x)＝240x－8x(0 2 2 2 2 (2) V＝(2x) 2 22 (60－2x)＝22x(30－x)(0 所以V′＝62x(20－x)，令V′＝0，得x＝20， 当0 2 （60－2x）21 此时，包装盒的高与底面边长的比值为＝. 22x 变式训练 某地方政府在某地建一座桥，两端的桥墩相距m米，此工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩(包括两端的桥墩)．经预测，一个桥墩的费用为256万元，相邻两个桥墩之间的距离均为x，且相邻两个桥墩之间的桥面工程费用为(1＋x)x万元，假设所有桥墩都视为点且不考虑其他因素，记工程总费用为y万元． (1) 试写出y关于x的函数关系式； (2) 当m＝1 280米时，需要新建多少个桥墩才能使y最小？ m?m?解：根据题意，需要建?＋1?个桥墩和段桥面工程． x?x? ?m?m (1) y＝256?＋1?＋(1＋x)x ?x?x 256?m???＝m?x＋?＋m＋256?x>0，∈N?. x?x??? 256??(2) 当m＝1 280时，y＝1 280?x＋?＋1 536， x?? ?1－256?2?，令y′＝0，得x＝64， y′＝1 280? ?2xx? 当0 所以当x＝64时，y有最小值16 896，此时要建21个桥墩． 答：需要建21个桥墩才能使y最小． 【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分14分) 已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)． (1) 求函数f(x)的单调区间； (2) 当a>0时，求函数f(x)在[1，2]上的最小值． 审题引导： ① 知函数解析式求单调区间，实质是求f′(x)>0，f′(x)<0的解区间，并注意定义域； ② 先研究f(x)在[1，2]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值； ③ 由于解析式中含有参数a，要对参数a进行分类讨论． 1 规范解答： 解：(1) f′(x)＝－a(x>0)．(1分) x 1 ① 当a≤0时，f′(x)＝－a≥0，即函数f(x)的单调增区间是(0，＋∞)．(3分) x1111－ax1 ② 当a>0时，令f′(x)＝－a＝0，得x＝，当0 x?a??a? 1 (2) ① 当≤1，即a≥1时，函数f(x)在区间[1，2]上是减函数， a所以f(x)的最小值是f(2)＝ln2－2a.(8分) 11 ② 当≥2，即0 a2所以f(x)的最小值是f(1)＝－a.(10分) 11?1??1?③ 当1<<2，即 又f(2)－f(1)＝ln2－a， 1 所以当 2当ln2≤a<1时，最小值是f(2)＝ln2－2a.(12分) 综上可知，当0 1. (20132新课标Ⅱ)若存在正数x使2(x－a)<1成立，则a的取值范围是________． 答案：(－1，＋∞) 11x－x 解析：因为2(x－a)<1，所以a>x－x，令f(x)＝x－x，所以f′(x)＝1＋2ln2>0， 22所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)>f(0)＝0－1＝－1，所以a的取值范围是(－1， ＋∞)． 1?1?2 2. (20132大纲)若函数f(x)＝x＋ax＋在?，＋∞?上是增函数，则a的取值范围是 x?2?________． 答案：a≥3 x 11?1??1?解析：f′(x)＝2x＋a－2≥0在?，＋∞?上恒成立，即a≥2－2x在?，＋∞?上恒成xx?2??2?1?1?立．令g(x)＝2－2x，求导可得g(x)在?，＋∞?上的最大值为3，所以a≥3. x?2? m 3. (20132扬州期末)已知函数f(x)＝lnx－(m∈R)在区间[1，e]上取得最小值4，则 xm＝________． 答案：－3e 1mx＋m 解析：f′(x)＝＋2＝2，令f′(x)＝0，则x＝－m，且当x<－m时，f′(x)<0， xxxf(x)单调递减，当x>－m时，f′(x)>0，f(x)单调递增．若－m≤1，即m≥－1时，f(x)min ＝f(1)＝－m≤1，不可能等于4；若1<－m≤e，即－e≤m<－1时，f(x)min＝f(－m)＝ln(－ 3 m)＋1，令ln(－m)＋1＝4，得m＝－e(－e，－1)；若－m>e，即m<－e时，f(x)min＝f(e)mm ＝1－，令1－＝4，得m＝－3e，符合题意．综上所述，m＝－3e. ee 4. (20132南京二模)设函数f(x)＝x－(a－2)x－alnx. (1) 求函数f(x)的单调区间； (2) 若函数f(x)有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值； (3) 若方程f(x)＝c有两个不相等的实数根x1、x2，求证：f′? 22 ?x1＋x2?>0. ??2? a2x－（a－2）x－a（2x－a）（x＋1） (1) 解：f′(x)＝2x－(a－2)－＝＝(x>0)． xxx当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)． aa 当a>0时，由f′(x)>0，得x>；由f′(x)<0，得0 22 ?a??a?所以函数f(x)的单调增区间为?，＋∞?，单调减区间为?0，?. ?2??2? ?a?2 (2) 解：由(1)得，若函数f(x)有两个零点，则a>0，且f(x)的最小值f??<0，即－a ?2? a ＋4a－4aln<0. 2 a 因为a>0，所以a＋4ln－4>0. 2 a3 令h(a)＝a＋4ln－4，显然h(a)在(0，＋∞)上为增函数，且h(2)＝－2<0，h(3)＝4ln 2281 －1＝ln－1>0， 16 所以存在a0∈(2，3)，h(a0)＝0. 当a>a0时，h(a)>0；当0 又当a＝3时，f(3)＝3(2－ln3)>0，f(1)＝0，所以a＝3时，f(x)有两个零点． 综上所述，满足条件的最小正整数a的值为3. (3) 证明：因为x1、x2是方程f(x)＝c的两个不等实根，由(1)知a>0. 不妨设0 22 两式相减得x1－(a－2)x1－alnx1－x2＋(a－2)2x2＋alnx2＝0， 22 即x1＋2x1－x2－2x2＝ax1＋alnx1－ax2－alnx2＝a(x1＋lnx1－x2－lnx2)． x1＋2x1－x2－2x2 所以a＝. x1＋lnx1－x2－lnx2 2 2 22 ?a??a??a?因为f′??＝0，当x∈?0，?时，f′(x)<0，当x∈?，＋∞?时，f′(x)>0， ?2??2??2? x1＋x2a 故只要证>即可， 22 x1＋2x1－x2－2x2 即证明x1＋x2>， x1＋lnx1－x2－lnx2 即证明x1－x2＋(x1＋x2)(lnx1－lnx2) 即证明ln<. x2x1＋x2x1 设t＝(0 x2 2t－214（t－1） 令g(t)＝lnt－，则g′(t)＝－2＝2. t＋1t（t＋1）t（t＋1）因为t>0，所以g′(t)≥0，当且仅当t＝1时，g′(t)＝0， 所以g(t)在(0，＋∞)上是增函数． 又g(1)＝0，所以当t∈(0，1)，g(t)<0总成立．所以原题得证． 2 2 2 2 2 2 2 1 1. 如果关于x的方程ax＋2＝3在区间(0，＋∞)上有且仅有一个解，那么实数a的取 x值范围为________． 答案：a≤0或a＝2 131 解析：由ax＋2＝3，得a＝－3. xxx 13 令t＝，则f(t)＝3t－t，t∈(0，＋∞)． x 用导数研究f(t)的图象，得fmax(t)＝2，当x∈(0，1)时，f(t)递增，当x∈(1，＋∞)时，f(t)递减，所以a≤0或a＝2. a（x－1） 2. 已知函数f(x)＝lnx－，若函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，则a的取 x＋1值范围是________． 答案：a≤2 x＋（2－2a）x＋1 解析：f′(x)＝≥0在(0，＋∞)上恒成立，易得a≤2. 2x（x＋1） 3. 设直线y＝a分别与曲线y＝x和y＝e交于点M、N，则当线段MN取得最小值时a的值为________． 答案： 2 2 2 x 2
