第一节 人口发展模型：一阶微分方程的应用
用微分方程来建立一个物种的增长模型几乎是不可能的，因为任何一个物种的群
体总是整数变化的，因而不可能是时间的连续函数。不过，如果给定的群体很庞大，那么增加的单一个体和群体的规模相比是很微小的。所以我们可以近似假设大规模群体随时间是连续可微地变化，因而可用微分方程这一工具来研究。
人口问题，在历史上许多人都研究过，象马尔萨斯、马克思、马寅初等等。这里介绍两个经典的模型。
一 马尔萨斯（Malthus，1766—1834）模型 设t时刻人口数为p(t)，则有
?dp?ap,a?const,?0??dt?p(t)?p00? （1）
这个Cauchy问题的解为
p(t)?p0ea(t?t0) （2）
（1） 是一个线性方程，称为群体增长的马尔萨斯律。
这个模型如此简单，那么，是否有用呢？有人用此模型估算1700-1961年间的人口数目，在1961年，地球人口总数约为3.06?109，增长率约为a=2%/年。代入（2）：
P(t)?3.06?109exp（0.02(t-1961)） (3)
计算结果与人口实况竟然惊人地近似。地球的实际人口在此期间每35年翻一番，而用此公式计算：翻一番的时间为34.6年。
现在，让我们看一下未来，问题来了：当t???时，计算结果p(t)???，具体地，由此模型可以求得: 到2510年，人口总数为2000亿左右，到2635年，人口总数为1万8千亿,我们地球的总表面积约为1万8千6百亿平方英尺，其中80%被水覆盖。想象看，将近4个人在一平方英尺里不能动是什么感觉。
可见这一模型必须修正。问题出在Malthus只看到繁衍增长的一面，未看到种内竞争（例如人类战争）对种群发避孕药的抑制作用，1837年，荷兰生物数学专家Verhulst考虑了单种群成员间的冲突乃至残害现象，得出容易理解的下述单种群数学模型：
二 人口增长的逻辑律
1837年，荷兰生物学家Verhulst考虑了单种群成员间的冲突乃至残害现象，引入如下模型：
?dp??(a?bp)p?dt??p(t0)?p0 （3）
这个方程被称为群体增长的逻辑律。a、b称为群体的生命系数，b与a相比是十分微小
的。因此，当p不是很大时，方程中-bp2与ap相比将微不足道，这时，群体的增长是指数形式。当p很大时，-bp2这一项就不能忽略了，它将阻滞群体的增长。
1
（3）的解为：
p?ap0ea(t?t0)a(t?t0) （4）
a?bp0?bp0e上式有极限：
limt???p(t)?ab （5）
这个值称为容纳量，或最大容许值。
这个结果告诉我们：不论初始值怎样，群体规模总是趋于极限值a/b， 其次0?P0?a/bd2时，P(t)单调增加。又
p22P ?(a?2bp)p(a?bp) p22dt （6）
a2b当p(t)?a2b时，
d?0,p2即
dpdtdpdt单调增加。 单调减少。
dt t
当p(t)?a/2b时，因此，若p0半
a2b?1a?2bd?0,dt，则p(t)应具有如右上图所示形状，可看出：群体总数达到极限值一
之前是一个加速增长时期，之后则是一个增长速度减慢的时期。
生物学家G. F .Gause对属于原生动物门的草履虫做了一个实验，证实了这些预测。 为了把这个结果应用到人口预测中来，还是按1961年 世界人口的数值来估计a,b，当时，一些生态学家已估算出a?0.029，而P(t90)?3.06?109，当时人口增长率为2%/年，故有
0.02?a?b?3.06?10，代入a/b9a/b?9.86?10
根据这个结果，1961年我们仍处于人口加速增长时期，因为当时的人口还没达到预测极限的一半。
作为这个规律的另一个验证。Pearl和Reed利用美国1790、1850和1910年的人口普查
?2.941?10可算出b?12
可算出地球上人口的极限值为
数据，求出a?0.03134及b?1.5887?10197273000?10，解出美国人口的简化函数为： （7）
P(t)?1?e?0.0.3134(t?1913.25)下表是Pearl和Reed预测的美国人口与实际观测的人口数，我们可以看出物合的程度非常好。
表中的结果是值得注意的，特别是，因为我们没有把移民进入美国以及这期间美国五次卷入战争而造成大规模人口波动算进去。
问题：由Pearl和Reed估计美国极限人口为约为2亿，可近来美国人口却稳定在2.5亿，为什么？
答案：技术的发展，对污染的考虑，以及社会发展趋势都对生命系数a,b有重要影响，美国在二战以后经济的高速发展，及新技术革命，而美国在世界霸权的形成，使得它可以廉价地使用全世界的资源，使得美国的实际人口高于它的预测值。
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表1 1790~1950年美国人口 年 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 实际数 3929000 5308000 7240000 9638000 12866000 17069000 23192000 31443000 38558000 50156000 62948000 75995000 91972000 105711000 122775000 131669000 150697000 预测数 3929000 5336000 7228000 9757000 13109000 17506000 23192000 30412000 39372000 50177000 62769000 76870000 91972000 107559000 123124000 136653000 149053000 误差 0 28000 -12000 119000 243000 437000 0 -1031000 814000 21000 -179000 875000 0 1848000 349000 4984000 -1644000 百分比 0． 0 0.5 -0.2 1.2 1.9 2.6 0.0 -3.3 2.1 0.0 -0.3 1.2 0.0 1.7 0.3 3.8 -1.1 （后面的四组数据是由Dartmouth学院写作组加上的）
可以用这个公式来估计我国的人口极限：
a?0.029,b可以如下求得：1980年5月1日，我国公布的人口总数1979年底为97092万人，当时人口增长率为1.45%，于是a?b?9.7092?108?0.0145,从而求得b,ab，?19.42（亿）
即我国人口极限约为19.42亿人。
注：
1、 显然，技术的发展，对环境的考虑，以及社会发展趋势对生命系数a、b都有重要影响。所以，每隔几年要重新估计他们的值。
2、要导出更准确的 群体增长模型，我们应该将群体分为不同的年龄组。同时，群体的繁殖更多地取决于雌性，我们还应该将群体分为雌性和雄性。
3、对群体增长的逻辑律的最严厉的批评是：人民观察到某些群体的数量在两个值之间周期的波动，而在一条逻辑曲线中不存在任何类似的波动。对这个问题可以这样来解释：当某些群体达到一个高密度时，他们就比较容易受到各种流行病的影响。从而导致群体数目下降，当群体数目降到一定程度后，流行病得到遏制，群体又开始增长，直到总数足够大时，又爆发流行病。如此，形成周期。
问题：如果考虑中国两千年的人口数目，会发现一个螺旋上升现象，为什么？
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