课时达标检测（二十七） 数列的概念与简单表示
[小题对点练——点点落实]
对点练(一) 数列的通项公式 1．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝A．第6项 C．第8项
解析：选B 由an＋1＝
2an1(n∈N*)，则是这个数列的( )
4an＋2
B．第7项 D．第9项
?1?2an11111
可得＝＋，即数列?a?是以＝1为首项，为公差
a12?n?an＋2an＋1an2
1111221
的等差数列，故＝1＋(n－1)×＝n＋，即an＝，由＝，解得n＝7，故选B.
an222n＋1n＋14
a32．(2018·南昌模拟)在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则的
a5
值是( )
15A. 16
B．
1533 C. D． 848
111解析：选C 由已知得a2＝1＋(－1)2＝2，∴2a3＝2＋(－1)3，a3＝，∴a4＝＋(－1)4，
222a31332
a4＝3，∴3a5＝3＋(－1)5，∴a5＝，∴＝×＝. 3a5224
3．(2018·河南郑州一中考前冲刺)数列{an}满足：a1＝1，且对任意的m，n∈N*，都有1111
am＋n＝am＋an＋mn，则＋＋＋…＋＝( )
a1a2a3a2 018
2 017
A. 2 0184 034C. 2 018
B．
2 018
2 0194 036
2 019
D．
解析：选D ∵a1＝1，且对任意的m，n∈N*都有am＋n＝am＋an＋mn，∴an＋1＝an＋n＋1，即an＋1－an＝n＋1，用累加法可得an＝a1＋
?n－1??n＋2?n?n＋1?12
＝，∴a＝＝22n?n＋1?n
1111111?4 0361111
1－＋－＋…＋－2?n－n＋1?，∴＋＋＋…＋＝2?2 0182 019?＝2 019，故选?223a1a2a3a2 018??D.
4．(2018·甘肃天水检测)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝( ) A．2n1
－
B．
2
n－1
1
2?n－1
C.??3? 3?n－1
D．??2?
解析：选D 因为an＋1＝Sn＋1－Sn，所以Sn＝2an＋1＝2(Sn＋1－Sn)，所以
Sn＋13
＝，所以Sn2
3?n－13
数列{Sn}是以S1＝a1＝1为首项，为公比的等比数列，所以Sn＝??2?.故选D. 2
5．(2018·兰州模拟)在数列1,2，7，10，13，…中219是这个数列的第________项．
解析：数列1,2，7，10，13，…，即数列1，3×1＋1，3×2＋1，3×3＋1，3×4＋1，…，∴该数列的通项公式为an＝3?n－1?＋1＝3n－2，∴3n－2＝219＝76，∴n＝26，故219是这个数列的第26项． 答案：26
6．(2018·河北冀州中学期中)已知数列{an}满足a1＝1，且an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则a3＝________，an＝________.
解析：由an＝n(an＋1－an)，可得
an＋1n＋1n－1anan－1an－2a2n
＝，则an＝···…··a1＝×anna1an－1an－2an－3n－1n－2
n－22
××…××1＝n(n≥2)，∴a3＝3.∵a1＝1满足an＝n，∴an＝n.
1n－3
答案：3 n
7．(2018·福建晋江季延中学月考)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________________．
解析：已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n＋1，将n＝1代入，得a1＝2；当n≥2时，将n1
－1代入得a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝n，两式相减得nan＝(n＋1)－n＝1，∴an＝，
n2，n＝1，??
∴an＝?1
??n，n≥2.
2，n＝1，??答案：an＝?1
，n≥2??n对点练(二) 数列的性质
9n2－9n＋2
1．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)．则下列说法正确的是( ) 29n－127
A．这个数列的第10项为 3198B.是该数列中的项 101
1?
C．数列中的各项都在区间??4，1?内 D．数列{an}是单调递减数列
9n2－9n＋2?3n－1??3n－2?3n－228
解析：选C an＝＝＝.令n＝10，得a10＝.故选项A2319n－1?3n－1??3n＋1?3n＋13n－298
不正确，令＝，
3n＋1101
3n－23n＋1－398
得9n＝300，此方程无正整数解，故不是该数列中的项．因为an＝＝
1013n＋13n＋131
＝1－，又n∈N*，所以数列{an}是单调递增数列，所以≤an<1，所以数列中的各项都
43n＋11?
在区间??4，1?内，故选项C正确，选项D不正确，故选C.
1＋an1
2．(2018·湖北黄冈中学期中)已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝，则a2 018＝( )
21－anA．－2 1
C．－ 3
1B．
2D．3
1＋a11＋a21＋a31＋a411
解析：选D ∵a1＝，∴a2＝＝3，a3＝＝－2，a4＝＝－，a5＝
231－a11－a21－a31－a4
1
＝，…，∴数列{an}是周期数列且周期T＝4，∴a2 018＝a2＝3，故选D. 2
3．(2018·河南郑州质量预测)已知数列{an}满足an＋1＝an－an－1(n≥2)，a1＝m，a2＝n，Sn为数列{an}的前n项和，则S2 017的值为( )
A．2 017n－m C．m
B．n－2 017m D．n
解析：选C 根据题意计算可得a3＝n－m，a4＝－m，a5＝－n，a6＝m－n，a7＝m，a8＝n，…，因此数列{an}是以6为周期的周期数列，且a1＋a2＋…＋a6＝0，所以S2 017＝S336×6
＋1
＝a1＝m.故选C.
4．(2018·安徽淮南模拟)已知{an}中，an＝n2＋λn，且{an}是递增数列，则实数λ的取值
范围是( )
A．(－2，＋∞) C．(－3，＋∞)
B．[－2，＋∞) D．[－3，＋∞)
解析：选C ∵{an}是递增数列，∴?n∈N*，an＋1>an，∴(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn，化简得λ>－(2n＋1)，∴λ>－3.故选C.
?2n－1，n≤4，?5．(2018·北京海淀区模拟)数列{an}的通项为an＝?(n∈N*)，若a52
??－n＋?a－1?n，n≥5
是{an}中的最大值，则a的取值范围是________．
解析：当n≤4时，an＝2n－1单调递增，因此n＝4时取最大值，a4＝24－1＝15.
a－1?2?a－1?
当n≥5时，an＝－n＋(a－1)n＝－?n－＋. 42??
2
2
a－1??≤5.5，
∵a5是{an}中的最大值，∴?2解得9≤a≤12.∴a的取值范围是
??－25＋5?a－1?≥15，[9,12]．
答案：[9,12]
[大题综合练——迁移贯通]
1．(2018·东营模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn
＝2Sn－n2，n∈N*.
(1)求a1的值；
(2)求数列{an}的通项公式． 解：(1)令n＝1，T1＝2S1－1， ∵T1＝S1＝a1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1. (2)n≥2时，Tn－1＝2Sn－1－(n－1)2， 则Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2] ＝2(Sn－Sn－1)－2n＋1 ＝2an－2n＋1.
因为当n＝1时，a1＝S1＝1也满足上式， 所以Sn＝2an－2n＋1(n≥1)，
当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2(n－1)＋1， 两式相减得an＝2an－2an－1－2， 所以an＝2an－1＋2(n≥2)， 所以an＋2＝2(an－1＋2)， 因为a1＋2＝3≠0，
所以数列{an＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列． 所以an＋2＝3×2n1，
－
所以an＝3×2n1－2，
－
当n＝1时也成立， 所以an＝3×2n1－2.
－
121
2．(2018·浙江舟山模拟)已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝an＋an(n∈
22N*)．
(1)求a1，a2，a3，a4的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
11121*
解：(1)由Sn＝a2n＋an(n∈N)可得，a1＝a1＋a1， 222211解得a1＝1，a1＝0(舍)．S2＝a1＋a2＝a22＋a2， 22解得a2＝2(负值舍去)；同理可得a3＝3，a4＝4. an1(2)因为Sn＝a2＋，①
2n2
an－11所以当n≥2时，Sn－1＝a2，② n－1＋22
112①－②得an＝(an－an－1)＋(a2n－an－1)，所以(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.由于an＋an－
22
1≠0，所以
an－an－1＝1，
又由(1)知a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，所以an＝n. 3．(2018·山西太原月考)已知等比数列{an}是递增数列，a2a5＝32，a3＋a4＝12，又数列{bn}满足bn＝2log2an＋1，Sn是数列{bn}的前n项和．
(1)求Sn;
SnSk(2)若对任意n∈N*，都有a≤a成立，求正整数k的值．
n
k
解：(1)因为{an}是等比数列，则a2a5＝a3a4＝32， 又a3＋a4＝12，且{an}是递增数列， 所以a3＝4，a4＝8，所以q＝2，a1＝1， 所以an＝2n1.所以bn＝2log2an＋1＝2log22n＝2n.
－
所以Sn＝2＋4＋…＋2n＝
2
Snn＋n
(2)令cn＝＝n－1，
an2
n?2＋2n?
＝n2＋n. 2
则cn＋1－cn＝
Sn＋1Sn?n＋1??n＋2?n?n＋1??n＋1??2－n?
－＝－n－1＝. 2n2nan＋1an2
所以当n＝1时，c1 当n≥3时，cn＋1－cn<0，即c3>c4>c5>…， 所以数列{cn}中最大项为c2和c3. SkSn所以存在k＝2或3，使得任意的正整数n，都有a≥a. k n
