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例3、叶中豪老师2013年国庆讲义一几何题我的解答
已知，D是?ABC底边BC上任一点，P是形内一点，满足?1??2，?3??4。 求证：PB?AB 。
PCAC 12A12A BPHPI
3D4CB3D4C证明作?BPD、?CPD外接圆交AB、AC分别于H、I，易知?AHP∽?ADC,所以
?AHD∽?APC，所以AC?AD （1）,易知?API∽?ABD,进而得到?ABP∽?ADI,
PCDH所以AB?AD（2）,易知A、H、P、I四点共圆，所以?AHI??API??ABC,所以
BPDIHI//BC,?IHD??HDB??3??HDP??3??HBP??4??ADI??IDC??HID,所以
HD?ID,进而根据（1）、（2）得到PB?AB。
PCAC
例4、已知?ABC是锐角三角形，AD是BC边上中线，H是?ABC垂心，
HI?AD于点I，求证
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B、C、H、I四点共圆
AA I BIHBDHC
DCG证明（一）：延长AD到G使得AD=DG,易知四边形ABGC是平行四边形，因为
CH?AB，BH?AC,所以?HBG??HCG?90?,得到I、B、G、C、H，所以B、C、H、I四点共圆
A
证明（二）?HAC??HBD??BFD,所以FD是⊙(AIHF)切线，所以
DC2?FD2?DI?DA,
IHFBDC所以?DIC∽?DCA,得到?DCA??DAC??BHI,所以B、C、H、I四点共圆
第四题、第51届波兰数学奥林匹克，1999
例5、已知 在?ABC中，AB?AC,点P在?ABC内部，点D是BC中点，?CBP??ACP.
求证 ?BPD??APC?180?.
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AAPCB
BDyαγxDθPβyxC
证明（文武光华数学工作室 南京 潘成华）设?ACP?x,?ABP?y,
?BPD??,?DPC??,?APB??,?APC??,因为BD?CD,可知BPsin??PCsin?，可
知sinysin??sinxsin?,（1），AP?AP,可知siny?sinx 得到
ABACsin?sin?sinysin??sinxsin?（2），根据（1）、（2）得sin??sin??????180?，即
sin?sin??BPD??APC?180?。
证明(二)（文武光华数学工作室 潘成华给出）延长CP 交以A为圆心，AB为半径的圆于F,直线FA交BP于G,
?F??ACP??PBC, ,因此?G??PCB ,于是G在⊙A上， ?PFG∽?PBC,所以?APF∽?DPB,可知?APF??BPD,
FPBDCAG即?BPD??APC??APF??APC?180?,得证
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例6、已知M 是?ABC边BC中点，AM交?ABC外接圆⊙O于D, 过点D作DE//BC交⊙O于E,在AD上取点F,使得FC?AC. 求证?AFC??EFC
证明(一)（文武光华数学工作室 南京 潘成华）因为DE//BC,点M是BC中点，所以ABEC是调和四边形，易知直线AE、过点B、C切线共点，得到MC平分
?AMC,?ECF?90???ABE??OAE??PME?1?EMF,因此C是?EMF旁心，进而
2?AFC??EFC.
AAOMBFDECOMBFDECP证明（二）因为M 是?ABC边BC中点，所以S?ABD?S?ACD,得到AB?BD?AC?CD,易知 BCED是等腰梯形，所以AB?CE?AC?BE,根据托勒密定理可知
2AB?CE?AB?CE+AC?BE=AE?BC?2BM?AE,得到AB?CE?BM?AE，?ABM??AEC,
所以?ABM∽?AEC，所以?EAC??BAD,可知?EAB??CAD,取AE中点S,同理可得 ?ACS??ECB??BAE??DAC,所以CS与AD交点设为N,则N为AF中点，所以
ACN//EF,于是?EFC??NCF??AFC
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SC
DE
