(1)势能的平均值U?1??2x2； 2p2 (2)动能的平均值T?；
2? (3)动量的几率分布函数。 [12]. 氢原子处在基态?(r,?,?)? (1)r的平均值；
13?a0e?r/a0，求：
e2 (2)势能?的平均值；
r (3)最可几半径； (4)动能的平均值；
(5)动量的几率分布函数。
[13]. 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是 Jer?Je??0 Je??e? m2?n?m
? rsin?L2[14]. 一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是H?，L为角动量，求与此
2I对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数： (1) 转子绕一固定轴转动： (2) 转子绕一固定点转动： [15]. 设t=0时，粒子的状态为
?(x)?A[sinkx?12coskx] 求此时粒子的平均动量和平均动能。 [16]. 一维运动粒子的状态是
2?Axe??x, 当x?0 ?(x)??
0, 当x?0?其中??0，求：
(1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的平均动量。
第四章 力学量和表象变化
[1]指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。
d24x?22?? dx； ② ① ； ③ K?1
2n[2] 指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。
ddd2， i， 42dxdxdx
d22[3] 下列函数哪些是算符dx的本征函数，其本征值是什么？
①x， ② e， ③sinx， ④3cosx， ⑤sinx?cosx
2x???ieixdFdx的本征函数。 [4] 试求算符
dd)x]2??[x]??dx[5] 设波函数?(x)?sinx，求dx
[(
[6] 证明：如果算符A和B都是厄米的，那么(A+B)也是厄米的。
????1?p?x?p?xx?)(x?p?xx[7] 问下列算符是否是厄米算符：①； ②2。
???????2???2???、?????1????2????[8] 如果算符满足关系式，求证①②
?3???3??2????3??
[9] 求
[10] 设?q,p??ih,f(q)是q的可微函数，证明下述各式：
（1）q,pf(q)?2hipf.（2）[q,pf(q)p]?ih(fq?pf)（3）[q,f(q)p]?2ihfp
?P???Lxx?PxLx??；
?P???Lyx?PxLy??；
?P???Lzx?PxLz??
?2?2[p,p2f(q)]?（4）
h2ihhpf[p,pf(q)p]?pfip[p,f(q)p2]?fip2iii（5）（6）
[11] 证明以下诸式成立： (1)
22(2)
(3)
????lx?xl?ih[(r*x)x?(i*r)x]22
(4)
??????lpx?pxl?ih{(p*l)x?(l*p)x}???F??F[l,F]??hi(r???p??)??r?p [12]l为粒子角动量。F为另一力学量，证明：
?????p?r其中表示空间坐标的梯度，表示动量空间的梯度。
[13] 设算符A，B与它们的对易式[A，B]都对易。证明 (1)
[14] 证明
(2)
[15] 证明
是厄密算符
[16] 证
(A 等是实数)是厄密算符
?nxm?xmpnp?Anmm2[17] 证明?n（Anm实数）是厄密算符。
[18]证明，若
不一定是厄密算符。
当
大时并不趋于0，则
[19] 证明 其中A(p,q),B(p,q)是正则动量和坐标的函数，上
式左方是相应的算符。{A,B}是经典力学中的poisson括弧在多变量情形
i=1,2,3......i自由度
[pk,F]?[20] 设F(x，p)是xk，pk的整函数，证明：
mnmnF[x,p]???Ckixkpi123??F?F[F,pk]?i?i?xk ⑴ ; ?pk ⑵
mn整函数是指mnki，
Cki是数值系数
