(3)已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松(Poisson)分布,即
2ke?2P{X?k}?,k?0,1,2,k!E(Z)=____________.
,则随机变量Z?3X?2的数学期望
十一、（本题满分6分）
设二维随机变量(X,Y)在区域D:0?x?1,y?x内服从均匀分布,求关于X的边缘概率密度函数及随机变量Z?2X?1的方差D(Z).
1991年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
x?1?t2d2y(1)设 ,则2=_____________.
dxy?cost
(2)由方程xyz?x2?y2?z2?2所确定的函数z?z(x,y)在点(1,0,?1)处的全微分dz=_____________.
x?1y?2z?3x?2y?1z(3)已知两条直线的方程是l1:??;l2:??.则过l1且
10?1211
平行于l2的平面方程是_____________.
(4)已知当x?0时,(1?ax)?1与cosx?1是等价无穷小,则常数
a=_____________.
123?5?2(5)设4阶方阵A???0??020100?0??,则A的逆阵A?1=_____________.
01?2??011?
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)曲线y?1?e?x1?e2?x2
2?(A)没有渐近线 (C)仅有铅直渐近线 近线
(B)仅有水平渐近线
(D)既有水平渐近线又有铅直渐
tf()dt?ln2,则f(x)等于 2(2)若连续函数f(x)满足关系式f(x)??(A)exln2 (C)ex?ln2
?0
n?1
?
(B)e2xln2 (D)e2x?ln2
?(3)已知级数?(?1)n?1an?2,?a2n?1?5,则级数?an等于
n?1n?1(A)3 (B)7
(C)8 (D)9
(4)设D是平面xoy上以(1,1)、(?1,1)和(?1,?1)为顶点的三角形区域,D1是D在第一象限的部分,则
??(xy?cosxsiny)dxdy等于
D(A)2??cosxsinydxdy
D1
(B)2??xydxdy
D1(C)4??(xy?cosxsiny)dxdy
D1(D)0
(5)设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC?E,其中E是n阶单位阵,则必有 (A)ACB?E (B)CBA?E (C)BAC?E (D)BCA?E
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
?
(1)求lim(cosx)2. ?x?0(2)设n是曲面2x2?3y2?z2?6在点P(1,1,1)处的指向外侧的法向量,求函数
6x2?8y2在点P处沿方向n的方向导数. u?z(3)???(x?y?z)dv,其中?是由曲线
?22y2?2zx?0绕z轴旋转一周而成的曲面
与平面z?4所围城的立体.
四、(本题满分6分)
过点O(0,0)和A(?,0)的曲线族y?asinx(a?0)中,求一条曲线L,使沿该曲线
O从到A的积分
?L(1?y3)dx?(2x?y)dy的值最小.
五、(本题满分8分)
将函数f(x)?2?x(?1?x?1)展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级
数?1的和. 2nn?1?
六、（本题满分7分）
设函数f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且3?2f(x)dx?f(0),证明在(0,1)内
31存在一点c,使f?(c)?0.
七、（本题满分8分）
已知α1?(1,0,2,3),α2?(1,1,3,5),α3?(1,?1,a?2,1),α4?(1,2,4,a?8)及
β?(1,1,b?3,5).
(1)a、b为何值时,β不能表示成α1,α2,α3,α4的线性组合?
(2)a、b为何值时,β有α1,α2,α3,α4的唯一的线性表示式?写出该表示式.
八、（本题满分6分）
设A是n阶正定阵,E是n阶单位阵,证明A?E的行列式大于1.
九、（本题满分8分）
在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在
该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)若随机变量X服从均值为2、方差为?2的正态分布,且P{2?X?4}?0.3,则P{X?0}=____________.
(2)随机地向半圆0?y?2ax?x2(a为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x轴的夹角小于率为____________.
十一、（本题满分6分）
设二维随机变量(X,Y)的密度函数为
f(x,y)?
?的概42e?(x?2y) x?0,y?00 其它
求随机变量Z?X?2Y的分布函数.