6．整式的运算
(1)整式的加减：整式的加减运算，实际上就是合并同类项．在运算时，如果遇到括号，根据去括号法则，先去括号，再合并同类项． (2)整式的乘法：
①正整数幂的运算性质：
mnm?nmnmn
aaa?；
a)(a?；
mmm
b?(ab)a；
a??aa(a≠0，m＞n)．
mnm?n
其中m、n都是正整数．
②整式的乘法：单项式乘单项式，用它们的系数的积作为积的系数，对于相同字母，用它们的指数的和作为积里这个字母的指数，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式．
单项式乘多项式，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
多项式乘多项式，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． ③乘法公式：
ba?b)(a?)?(a?b； 222baba??2(a?b)?． mnm?n01?a?a?aa ；n时，规定mn0(a≠，m，都是正整数④零和负整数指数：在)中，当＝1p??a． ，规定是正整数＝时，如＜当mnm-n-p(p) pa4
22
．因式分解7 ）因式分解的概念（1 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解．
在因式分解时，应注意：
的范围内进行因式分解，一定要分解到不能再分解为止，题目中没有) ①在指定数(有理数、实数 指定数的范围，一般是指在有理数范围内分解． ②因式分解以后，如果有相同的因式，应写成幂的形式，并且要把各个因式化简． （2）因式分解的方法 ①提公因式法：ma+mb+mc＝m(a+b+c)．22222)?bba?b)(a?)a?2ab?b?(a?a?b( ；②运用公式法：；
2
abx?(a?b)x?)?(x??ba)(x ③十字相乘法：． 3）因式分解的步骤 （ ①多项式的各项有公
因式时，应先提取公因式； ②考虑所给多项式是否能用公式法分解．
要点诠释：①在指定数（有理数、实数）的范围内进行因式分解，一定要分解到不能再分: 因式分解时应注意解为止，若题目中没有指定数的范围，一般是指在有理数范围内因式分解；②因式分解后，如果有相同因式，应写成幂的形式，并且要把各个因式化简，同时每个因式的首项不含负号；③多项式的因式 .分解是多项式乘法的逆变形 ．分式8 （1）分式的概念A B的值不能为零．A的式子叫做分式，其中和B均为整式，B 形如中含有字母，注意以)M?AA?MAA??) 是不等于零的整式其中M，．(分式的运算（3
B 2）分式
的基本性质 （ 同一个不等于零的整式，分式的值不变．(分式的分子与分母都乘或除
MMBB?B?B ）
bc?b?acadaba???? ．①加减法：，
bdbdcccacca? ②
乘法：．
bdbdadadac??? ③除法：．
bdbcbcnnaa???（n为正
整数）． ④乘方：?? nbb??要点诠释： 解分式方程的注意事项：
（1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；
（2）解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解． 列分式方程解应用题的基本步骤： (1)审——仔细审题，找出等量关系；
5
(2)设——合理设未知数；
(3)列——根据等量关系列出方程；
解——解出方程； (4) 验——检验增根； (5) (6)答——答题． 【典型例题】 类型一、实数的有关概念及运算无理数的个数是（75
．A．2 B．3 C．4 D 【思路点拨】常见的无理数有以下几种形式：??、 是无理数，等都是无理数，而不是分数；（1）字母型：如π42 0）就是一个无限不循环的小数；如2.10100100010000…（每两个1之间依次多一个（2）构造型：、52、6，3 ）根式型：…都是一些开方开不尽的数；（3. °等tan27°、cos29（4）三角函数型：sin35°、 ；【答案】A2π? 【解析】本题主要考查无理数的概念.无理数是指无限不循环小数，都是无限不循环小数，，.
个无理数故共有2?的数；③看似循环但实际不循环的【总结升华】无理数通常有以下几类：①开方开不尽的数；②含小数；④三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等.抓住这几类无理数特征，则可以轻松解决有关无理数的相关试题. 举一反三：
，），中， 12π?0.32? ，1．实数 ，
3BACABC所关于点、，则点两点表示的数分别为－1和的对称点为，点【变式】如图，数轴上表
示的数为( )．
1?3?2??331?3?2 B ．－．A． C．D
A. 【答案】
2．计算：2??2??58325??(2)40?40.25?2?????9 (2)(1)； ．????3??????4332)?(9??42?. 【思路点拨】注意在第（的不同运算顺序和的运算顺序与）题中，19【答案与解析】
6
??2??3?2?0.25?4???9?40 (1)???? 3??????4??409?4????8?0.25? ?? 9??9??40)?2?(81?9?40????2?4?43??41???2 ．??
4??4444852500000000?25??25?(4?25)?25?10025(?2)??4?25 ． (2)【总结升华】在进行有理数
2
运算时，要注意运算的顺序，要有灵活运用运算律、运算法则和相反数、 1的运算特性的意识，寻求简捷的运算途径．倒数、0、
举一反三：7125??2.4)??(???? ；变式【】??
12658??27512??2.4)(??????2.9???1.5?1.4??1.5?0.4?1.4?? 【答案】 ．??
128565??
3
y 22x-y+1=0x-3+ +xy+xy.
3． ，计算若4. 的值x、y，进而求出【思路点拨】几个非负数相加和为0，则这几个非负数必
定同时为0 【答案与解析】0,?x?33,?x?? 依题意得解得??0,?y?1x?4,?y??
2222
234yyyy
22244
2 a，(a≥
10.4?(3?)??y(x+)?(x+)y?+xy+xy?y(x+xy+) ∴
0)a,a0. 0这三个非负数中任意几个相加得，则每一个都得【总结升华】 举一反三：??ba0b8??|a?1|? ，则 变式】已知．【
0.
0，所以这两数都为【答案】本题考查绝对值与算数平方根的非负性，两个非负数的和为
0??8?b|a?1|?a?b9.
所以a=-1,b=8.﹣因为 ，
类型二、分式的有关运算 21x? x取何值时，．对于分式4，当
1x??
分式的值等于零(1)分式有意义? (2)【思路点拨】当分母等于零时，分式没有意义，此外，分式都有意义；当分子等于零，并且分母不等. 于零时，分式的值等于零 【答案与解析】 ．＝，得＝由分母 (1)x+10x-17
2
?1x ∴ 当x≠-1时，分式有意义． x?12x?1?0x?1x??1．由分子 ，得或(2)
x?1
而当x＝-1时，分母x+1＝0；
x?1?0．时，分母 当x＝12?x1 ∴ 当x＝l时，分式的值等于零．
【总结升华】讨论分式有无意义时，一定要对原分式进行讨论，而不能讨论化简后的分式．
类型三、二次根式的运算
﹣的值．a=，求5．（2014春?平泉县校级期中）已知 【思路点拨】
﹣，a=2先利用因式分解原式进行化简，再进行约分和利用二次根
式的性质计算，由于=4 3+，然后把的值代入计算即可．a＜﹣40，所以原式可化简为a﹣则a
【答案与解析】
原式 =﹣解： ﹣=a﹣3，
﹣，2∵a==4∴a﹣4＜0，
3+﹣=a ∴原式 3+=a﹣，【总结升华】本题考查了二次 ﹣3+2﹣=4 ﹣=2．
根式的化简求值：一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．也考查了分式的混合运算．
举一反三：
148)12)3)；【 】计算：变式
2
(2?3)?(32?43)(12)?1848)(2??2?23)?(2?26?3)( 【答案】
?6?46?66?24?5?26??23．
6．当x为何值时，下列式子有意义？ 8
（1；） （5x?）题中，因为与分式有关，【思路点拨】第（1） x?3?2 ）2．
x1?2
题中，根号外的负号与根号是否有意义无关；第（2 因此要综合考虑x的取值范围． 【答案与解析】3?x023?x? ，即）．（1且x+5（2）≠ 举一反三：
( )【变式】下列说法中，正确的是53 的平方根是的算术平方根是
23， x23???x 有意义．∴ 当时， 20x?1?2 0，
x21?1?x 时，∴ 当，且x≠-5有意义． 5x?20.
【总结升华】要使偶次根式有意义，被开方数为非负数；分式有意义分母不为
