即第二振动与第一振动的相位差为? 第六章
??/2
6-4 有一平面谐波在空间传播,如题图6－4所示.已知A点的振动规律为y?Acos(?t??)，就图中给出
的四种坐标,分别写出它们波的表达式.并说明这四个表达式中在描写距A点为b处的质点的振动规律是否一样? 分析 无论何种情况，只需求出任意点x与已知点的相位差，同时结合相对坐标的传播方向（只考虑相对于坐标方向的正负关系）即可求解波的表达。只要把各种情况中b的坐标值分别代入相应的波动方程就可求得b点的振动规律。
解: 设其波长为λ,选o点处为坐标原点,由方程y?Acos(?t处质点的振动比A点滞后
??)；可得取图中a 所示的坐标,则x
x2?,故 ?a.y?Acos(?t?同理可得
x?x2???)
b.y?Acos(?t?c.y?Acos(?t?d.y?Acos(?t??2???) 2???) 2???)
x?l?x?l?题图6-4
要求距A为b的点的振动规律,只要把各种情况中b的坐标值分别代入相应的波动方程就可求得.从结果可知,取不同的坐标只是改变了坐标的原点,波的表达式在形式上有所不同,但b点的振动方程却不变.即
(2)
y?Acos(?t?b?2???)
??t't?t?
题图6-5
6-5一平面简谐波沿x轴正向传播，其振幅为A，频率为?，波速为u.设t时刻的波形曲线如题图6－5所示.求(1)x=0处质点振动方程；(2)该波的波方程.
分析 由于图中是t'时刻波形图，因此，对x=0处质点，由图得出的相位也为t'时刻的相位。再由旋转矢量推算出t=0时刻的初相位。进而写出波动方程。 解：(1)设x?0处质点的振动方程为 y?Acos[2??(t?t')??]。由图可知，t?t'时
y?Acos??0，???A?sin??0。所以???/2
1x?0处的振动方程为：y?Acos[2??(t?t')??]
21y?Acos[2??(t?t'?x/u)??]
26-8如题图6-8所示，一平面波在介质中以波速u?20m/s沿x轴负方向传播，已知A点的振动方程为
(2)该波的表达式为：
y?3?10?2cos4?t(SI). (1)以A点为坐标原点写出波方程；
(2)以距A点5m处的B点为坐标原点，写出波方程. 分析 由波相对坐标轴的传播方向和已知点的振动方程 直接写出波方程。
解：(1)坐标为x处质点的振动相位为 ?tu
B A 题图6-8
???4?[t?(x/u)]?4?[t?(x/20)]波的表达式为
y?3?10?2cos4?[t?(x/20)](SI)
(2)以B点为坐标原点，则坐标为x点的振动相位为 ?t波的表达式为
??'?4?[t?x?5](SI) 20y?3?10?2cos[4?(t?x)??](SI) 206-10 一平面谐波沿ox轴的负方向传播,波长为λ，P点处质点的振动规律如题图6－10所示.求: （1）P点处质点的振动方程;（2）此波的波动方程；（3）若图中d??/2,求O点处质点的振动方程.
分析 首先由已知振动规律结合旋转矢量图可得P点振动的初相与周期，从而得到其振动方程。波动方程则由P与原点的距离直接得到。波动方程中直接代入某点的坐标就可求出该点的振动方程。 解:（1）从图中可见T?4s,且t?0,ypo??A,??0??,则P点处质点的振动2??t??)?Acos(t??)(SI) 42 yP (m) 方程为
yp?Acos(（2）向负方向传播的波动方程为
?x?dy?Acos[(t?)??]
2?（3）把d0 1 -A t (s) O d P x ??/2,x?0代入波动方程即得
??/2y0?Acos[(t?2???3?)??]?Acos(t?)
24第十五章
题图6-10
15-1.在双缝干涉实验中，两缝的间距为0.6mm,照亮狭缝s的光源是汞弧灯加上绿色滤光片．在2.5m远
处的屏幕上出现干涉条纹，测得相邻两明条纹中心的距离为2.27mm．试计算入射光的波长，如果所用仪器只能测量?x?5mm的距离，则对此双缝的间距d有何要求？
分析：由明纹位置公式求解。
解：在屏幕上取坐标轴Ox，坐标原点位于关于双缝的对称中心。屏幕上第k级明纹中心的距坐标原点距离：
x??k可知 ?x?D? dxk?1?xk?(k?1)DDD? ??k??ddd代入已知数据，得 ???xd?545nm DD??0.27mm ?x对于所用仪器只能测量?x?5mm的距离时 d?
15-2.在杨氏双缝实验中，设两缝之间的距离为0.2mm．在距双缝1m远的屏上观察干涉条纹，若入射光是波长为400nm至760nm的白光，问屏上离零级明纹20mm处，哪些波长的光最大限度地加强？(1nm＝-9
10m)
分析：由双缝干涉屏上明纹位置公式，求K取整数时对应的可见光的波长。
解：已知：d＝0.2mm，D＝1m，x＝20mm 依公式： xDk? ddx-3
∴ k??＝4×10 mm＝4000nm
D? S1 S2 r1 r2 P
故 k＝10 ?λ1＝400nm k＝9 λ2＝444.4nm k＝8 λ3＝500nm k＝7 λ4＝571.4nm k＝6 λ5＝666.7nm
这五种波长的光在所给观察点最大限度地加强．
题图15-3
15-6.在双缝干涉实验中，单色光源S0到两缝S1和S2的距离分别为l1和l2，并且l1?l2?3?，λ为入
射光的波长，双缝之间的距离为d，双缝到屏幕的距离为D(D>>d)，如图15-6．求： (1) 零级明纹到屏幕中央O点的距离． (2) 相邻明条纹间的距离．
解：(1) 如图，设P0为零级明纹中心 则 r2?r1?dP0O/D
又 (l2?r2)?(l1?r1)?0
∴ r2?r1?l1?l2?3?
∴ ?? P0O? x r1 r2 O D
s1 l1 s0 l2 d s2 P0 D(r2?r1)/d?3D?/d
??k? (k＝1，2，....)
xk?(?k??3?)D/d
(2) 在屏上距O点为x处, 光程差
??(dx/D)?3? 明纹条件 ?题15-6解图 在此处令k＝0，即为(1)的结果．相邻明条纹间距xk?1?xk?D?/d
15-8.在折射率n＝1.50的玻璃上，镀上n?＝1.35的透明介质薄膜．入射光波垂直于介质膜表面照射，观察反射光的干涉，发现对λ1＝600nm的光波干涉相消，对λ2＝700nm的光波干涉相长．且在600nm到700nm
-9
之间没有别的波长的光是最大限度相消或相长的情形．求所镀介质膜的厚度．(1nm=10m)．
分析：上、下表面反射均为由光疏介质到光密介质，故不计附加光程差．光程差为?解：当光垂直入射时，i =0． 对λ1（干涉相消）： 2n?e对λ2（干涉相长）： 2n?e由① ②解得： k?2ne．
?1?2k?1??1 ① 2
?k?2 ②
?2??2??1??1?3
将k、λ2、n?代入②式得
e?k?22n?＝7.78×10mm
-4
15-12.当用波长为λ1的单色光垂直照射牛顿环装置时，测得中央暗斑外第1和第4暗环半径之差为l1，而用未知单色光垂直照射时，测得第1和第4暗环半径之差为l2，求未知单色光的波长λ2．
分析：用牛顿环暗环半径公式 rk解：根据题意可得 l1?kR?，计算。
?4R?1?R?1?R?1
l2?4R?2?R?2?R?2
22 ?2/?1?l2/l1
22 ? ?2?l2?1/l1
15-15.某种单色平行光垂直入射在单缝上，单缝宽a=0.15mm．缝后放一个焦距f = 400 mm的凸透镜，在透镜的焦平面上，测得中央明条纹两侧第三级暗条纹之间的距离为8.0mm，求入射光的波长． 分析：由单缝衍射暗纹条件及暗纹到中心的距离可求波长。 解：设第三级暗纹在?3方向上，则有
asin?3=3λ? 此暗纹到中心的距离为 x3=ftg?3
因为?3很小，可认为tg?3≈sin?3，所以 x3≈3fλ/a． 两侧第三级暗纹的距离是 2x3=6λf/a=8.0mm
∴ λ=(2x3)a/6f =500nm
15-17.在复色光照射下的单缝衍射图样中，其中某一波长的第3级明纹位置恰与波长??600nm的单色光的第2级明纹位置重合，求这光波的波长．
分析：夫琅禾费衍射的明纹公式为asin??(2k?1)的单色光的第二级明纹应有相同的衍射角?。
解：设未知波长为?0
由单缝衍射明纹条件：asin??(2k?1)可有：asin??(2?3?1)和asin??(2?2?1)可得?0?，由题意的第三级明纹与波长??600nm?02?2
?0 2?2
5???428.6nm 715-18.一束平行光垂直入射到某个光栅上，该光束有两种波长的光，λ1=440 nm，λ2=660 nm(1nm=10m)．实验发现，两种波长的谱线(不计中央明纹)第二次重合于衍射角?=60°的方向上．求此光栅的光栅常数d．
分析：光栅衍射主极大公式即光栅方程dsin??k?，两种波长的谱线重叠时，具有相同的衍射角?。
解：由光栅衍射主极大公式得 dsin?1-9
?k1?1 dsin?2?k2?2
sin?1k1?1k1?4402k1
???sin?2k2?2k2?6603k2
k1369．．．．．． ??? ．
k2246k6两谱线第二次重合即是 1?， k1=6， k2=4
k24当两谱线重合时有?1=?2,即 由光栅公式可知dsin60°=6λ1
d?6?1sin60?=3.05×10mm
-3
15-19.波长600nm的单色光垂直入射在一光栅上，第二级主极大在sin??0.20处，第四级缺级，试问：
（1）光栅上相邻两缝的间距(a?b)有多大？ （2）光栅上狭缝可能的最小宽度a有多大？
（3）按上述选定的a、b值，试问在光屏上可能观察到的全部级数是多少？ 分析：（1）将已知条件代入光栅方程(a?b)sin?（2）用缺级公式
?k?可求出光栅常数即光栅上相邻两缝的间距；
a?bko?，k'?1，可求出光栅上狭缝可能的最小宽度a；（3）以90为限先确定干涉ak'o条纹的级数，等于90时对应的级次看不见，扣除缺级，最后算出条纹数。
解：（1）由光栅方程(a?b)sin??k? （k=2）
得 (a?b)?k??6?10?4cm
sin?（2）根据缺级条件，有
a?bk? ak'4取k'?1,得 a?a?b?1.5?10?4cm （3）由光栅方程 (a?b)sin?令sin??k?,k?0,?1,?2,?
?1,解得: k?a?b?10
?即k?0,?1,?2,?3,?5,?6,?7,?9时出现主极大，?4,?8缺级,?10级主极大在??900处,实际不可
见,光屏上可观察到的全部主极大谱线数有15条.
15-20.汽车的两盏前灯相距1.2m，试问汽车离人多远的地方，眼睛才可能分辩这两盏灯？假设夜间人眼瞳孔直径为5.0mm，车灯发光波长为??550.0nm.
分析：两个物体能否分辨，取决于仪器的最小分辨角??1.22?
d解：设l为两灯距离，s为人车之间距离，恰可分辨时，两车灯对瞳孔的最小分辨角为 ??l s由瑞利准则 ???R?1.22l? dsld得 s??8.94?103m
1.22??