求每个物体的加速度（2）求两根绳中的张力（滑轮和绳子质量不计，绳子的伸长和摩擦力可略）。 分析：相对运动。m1相对地运动，m2、m3相对B运动，T1速度的关系求解。
解：如下图2-15，分别是m1、m2、m3的受力图。
设a1、a2、a3、aΒ分别是m1、m2、m3、B对地的加速度；a2B、a3B分别是m2、m3对B的加速度，以向上为正方向，可分别得出下列各式
?2T2。根据牛顿牛顿定律和相对运动加
?m1g?T1'?m1a1……………① ?m2g?T2'?m2a2…………②
?m3g?T2?m3a3……………③
又：
a2?aB?a2Ba3?aB?a3B且：a2B则：a2
??a3B
则：
?a3?2aB,且aB??a1,图2－15
…………④ …………⑤ …………⑥
a2?a3??2a1
又：T1'?T1?T2?T2'
T2'?T2
?4m2?3m1ga?g????1.96m/s2?13m1?4m25??4m2?m1gg????1.96m/s2 则由①②③④⑤⑥，可得：?a2??3m1?4m25??5m?4m23gg??5.88m/s2?a3?13m1?4m25?8m1m2g（2）将a3的值代入③式，可得：T2??0.784N。T1?2T2?1.57N
3m1?4m2???2-34．设F?7i?6j(N)。
?????（1）当一质点从原点运动到r??3i?4j?16k(m)时，求F所作的功；
??（2）如果质点到r处时需0.6s，试求F的平均功率；
（3）如果质点的质量为1kg，试求动能的变化。
分析：由功、平均功率的定义及动能定理求解，注意：外力作的功为F所作的功与重力作的功之和。
??解：（1）A=?F?dr
?r????? =?(7i?6j)?(dxi?dyj?dzk)
00?r =?-307dx??6dy
04 ??45J，做负功
A45??75W t0.6???r（3）?Ek?A???mgj?dr
（2）P?0 = -45+ = -85J
?40?mgdy
22-37．求把水从面积为50m的地下室中抽到街道上来所需作的功。已知水深为1.5m，水面至街道的竖直距离为5m。
分析：由功的定义求解，先求元功再积分。
解：如图以地下室的O为原点，取X坐标轴向上为正，建立如图坐标轴。 选一体元dV?Sdx，则其质量为dm?pdV?pSdx。
把dm从地下室中抽到街道上来所需作的功为
dA?g(6.5?x)dm
故
2-41．一沿x轴正方向的力作用在一质量为3.0kg的质点上。已知质点的运动方程为x?3t?4t2A??dA??pSg(6.5?x)dx?4.23?106J
001.51.5题图2-37
?t3，这里x以m为单位，时间t以s为单位。试求：（1）力在最初4.0s内作的功；（2）
在t=1s时，力的瞬时功率。
分析：由速度、加速度定义、功能原理、牛顿第二定律求解。 解：(1)v(t)?dx?3?8t?3t2 dt则 v(4)?19m/s,由功能原理，有
v(0)?3m/s
122?m?v(4)?v(0)??528J
2?dxdv?3?8t?3t2,a(t)??6t?8 （2）v(t)?dtdtA??Ek?t?1s时，F?ma??6N,v??2m/s
则瞬时功率
p?Fv?12W
2—42.以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，若铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1cm，问击第二次时能击入多深？(假定铁锤两次打击铁钉时的速度相同。) 分析：根据功能原理，因铁锤两次打击铁釘时速度相同，所以两次阻力的功相等。注意：阻力是变力。 解：设铁钉进入木板内xcm时，木板对铁钉的阻力为
f?kx(k?0)
由于铁锤两次打击铁钉时的速度相同，故
?10fdx??fdx
1x所以，x?2。第二次时能击入(2?1)cm深。
2—43．从地面上以一定角度发射地球卫星，发射速度v0应为多大才能使卫星在距地心半径为r的圆轨道上运转？
分析：地面附近万有引力即为重力，卫星圆周运动时，万有引力提供的向心力，能量守恒。 解：设卫星在距地心半径为r的圆轨道上运转速度为v, 地球质量为M, 半径为Re,卫星质量为m. 根据能量守恒，有
12GMm12GMm mv0??mv?2Re2r又由卫星圆周运动的向心力为
GMmmv2FN?2?rrGMm?mg Re2联立以上三式，得v0
卫星在地面附近的万有引力即其重力，故
?1Re??2gRe?1?? ?2r??100N?m?1，用手推一质量m?0.1kg的物体A把弹簧压缩到离平
2—44．一轻弹簧的劲度系数为k衡位置为x1?0.02m处，如图2-44所示。放手后，物体沿水平面移动距离x2?0.1m而停止，求物体
与水平面间的滑动摩擦系数。 分析：系统机械能守恒。
解：物体沿水平面移动过程中，由于摩擦力做负功，
致使系统（物体与弹簧）的弹性势能全部转化为内能（摩擦生热）。 根据能量关系，有
12kx1??mgx2所以，??0.2 2
2—48．一人从10 m深的井中提水．起始时桶中装有10 kg分析：由于水桶漏水，人所用的拉力F是变力，变力作功。 解：选竖直向上为坐标y轴的正方向，井中水面处为原点. 由题意知，人匀速提水，所以人所用的拉力F等于水桶的重量 即： F题图2—44
题图2—45
的水，桶的质量
为1 kg，由于水桶漏水，每升高1 m要漏去0.2 kg的水．求水桶匀速地从井中提到井口，人所作的功．
?P?P0?ky?mg?0.2gy?107.8?1.96y
H10 人的拉力所作的功为：
A??dA??Fdy＝?(107.8?1.96y)dy=980 J
002-51．一个具有单位质量的质点在力场F????(3t2?4t)i?(12t?6)j中运动，其中t是时间，设该质点
在t?0时位于原点，且速度为零，求t?2s时该质点受到的对原点的力矩和该质点对原点的角动量。
分析：由牛顿定律、力矩、角动量定义求解。 解：对质点由牛顿第二律有
????v?t?t?dv2?F?ma 又因为a?所以?dv??adt??(3t?4t)i?(12t?6)j?dt?000?dt???322得v?(t?2t)i?(6t?6t)j
???dr?1423?32同样由v? 得r?(t?t)i?(2t?3t)j
dt43????????2?1所以t=2时M?r?F??40k(N?m) L?r?mv??16k(kg?m?t)
2-54．在光滑的水平桌面上，用一根长为l的绳子把一质量为m的质点联结到一固定点O. 起初，绳子是松弛的，质点以恒定速率v0沿一直线运动。质点与O最接近的距离为b，当此质点与O的距离达到l时，绳子就绷紧了，进入一个以O为中心的圆形轨道。（1）求此质点的最终动能与初始动能之比。能量到哪里去了？（2）当质点作匀速圆周运动以后的某个时刻，绳子突然断了，它将如何运动，绳断后质点对O的角动量如何变化？
分析：绳子绷紧时，质点角动量守恒。 解：（1）当质点做圆周运动时，mv0b?mvl
?v0b l可得其速度v1bm(v0)2Ekb22l所以最终动能与初始动能之比??2?1，其他能量转变为绳子的弹性势能，以后转
12Ek0lmv02化为分子内能.
（2）绳子断后，质点将按速度v?v0b沿切线方向飞出，做匀速直线运动质点对0点的角动量lJ?mv0b?恒量。
第三章
3-2 如题图3-2所示，一根均匀细铁丝，质量为M，长度为L，在其中点O处弯成?平面内，求铁丝对Ox轴、Oy轴、Oz轴的转动惯量。 分析：取微元，由转动惯量的定义求积分可得 解：（1）对x轴的转动惯量为：
L20?120?角，放在xOyJx??rdm??(lsin600)2（2）对y轴的转动惯量为：
2M1dl?ML2 L32题图3-2