习题一
????1-1.质点运动学方程为：r?acos(?t)i?asin(?t)j?btk,其中a，b，?均为正常数，求
质点速度和加速度与时间的关系式。
?分析：由速度、加速度的定义，将运动方程r(t)对时间t求一阶导数和二阶导数，可得到速度和加速度的表达式。
解：v?dr/dt??a?sin(?t)i?a?cos(?t)j?bk
?????????a?dv/dt??a?2?cos(?t)i?sin(?t)j???
1-2. 一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，大小与速度平方成正比，即dv/dt??Kv2， 式中K为常量．试证明电艇在关闭发动机后又行驶x距离时的速度为 v?v0e?Kx 。 其中v0是发动机关闭时的速度。 分析：要求v?v(x)可通过积分变量替换a?证：
dvdv?v，积分即可求得。 dtdxdvdvdxdv???v??Kv2 dtdxdtdxdv??Kdx vv1xvdv??Kdx , ln??Kx ?v0v?0v0 v?v0e?Kx
1-3．一质点在xOy平面内运动，运动函数为x?2t,y?4t2?8。（1）求质点的轨道方程并画出轨道曲线；（2）求t=1 s和t=2 s 时质点的位置、速度和加速度。
分析：将运动方程x和y的两个分量式消去参数t，便可得到质点的轨道方程。写出质点的
???运动学方程r(t)表达式。对运动学方程求一阶导、二阶导得v(t)和a(t)，把时间代入可得
某时刻质点的位置、速度、加速度。
解：（1）由x?2t,得：t?x,代入y?4t2?8
2 可得：y?x?8，即轨道曲线。
画图略
2???2（2）质点的位置可表示为：r?2ti?(4t?8)j
????? 由v?dr/dt则速度：v?2i?8tj
???? 由a?dv/dt则加速度：a?8j
????????则：当t=1s时，有r?2i?4j,v?2i?8j,a?8j
22????????当t=2s时，有r?4i?8j,v?2i?16j,a?8j
1-4．一质点的运动学方程为x?t，y?(t?1)，x和y均以m为单位，t以s为单位。（1）求质点的轨迹方程；（2）在t?2s时质点的速度和加速度。 分析同1-3.
2解：（1）由题意可知：x≥0，y≥0，由x?t，，可得t?x,代入y?(t?1)2
y?x?1，即轨迹方程
??2?2 （2）质点的运动方程可表示为：r?ti?(t?1)j
整理得：???????? a?dv/dt?2i?2j
?????? 因此, 当t?2s时，有v?4i?2j(m/s),a?2i?2j(m/s2)
121-5．一质点沿半径为R的圆周运动，运动学方程为s?v0t?bt，其中v0，b都是常量。
2 则：v?dr/dt?2ti?2(t?1)j
（1）求t时刻质点的加速度大小及方向；（2）在何时加速度大小等于b； （3）到加速度大小等于b时质点沿圆周运行的圈数。
分析：由质点在自然坐标系下的运动学方程s?s?t?，求导可求出质点的运动速率v?ds，dtv2?dv??22因而，a??，an?，a?a??0?ann0，a?a??an，当a?b时，可求出t，代
dt?入运动学方程s?s?t?，可求得a?b时质点运动的路程，解：（1）速率：v?dss即为质点运动的圈数。 2?R??b
dtdt?dv?v2??(v0?bt)2? 加速度：a??0?n0??b?0?n0
dt?R 则大小：a??v0?bt，且dva2??a2n?(v0?bt)2?2?b???……………………①
R??2 方向：tan???bRv（2）当a=b时，由①可得：t?0
b2v0v012（3）当a=b时，t?，代入s?v0t?bt,可得：s?
b22b2v0s? 则运行的圈数 N? 2?R4?bR1-9．汽车在半径为400m的圆弧弯道上减速行驶，设在某一时刻，汽车的速率为10m?s，
-2切向加速度的大小为0.2m?s。求汽车的法向加速度和总加速度的大小和方向。
分析：由某一位置的?、v求出法向加速度an，再根据已知切向加速度a?求出a的大小和方向。
-1?v0?bt?2
102解：法向加速度的大小an???0.25(m/s2), 方向指向圆心
?400总加速度的大小
v2a?a2??a2n?0.22?0.252?0.32(m/s2) a??0.8,??38?40', an则总加速度与速度夹角??90????128?40'
如图1-9，tan??
1-10. 质点在重力场中作斜上抛运动，初速度的大小为v0，与水平方向成?角．求质点到达抛出点的同一高度时的切向加速度，法向加速度以及该时刻质点所在处轨迹的曲率半径
（忽略空气阻力）．已知法向加速度与轨迹曲率半径之间的关系为an ? v 2/? 。 分析：运动过程中，质点的总加速度a? g 。由于无阻力作用，所以回落到抛出点高度时 质点的速度大小v?v0，其方向与水平线夹角也是?。可求出an ，如图1-10。再根据关系
an ? v 2/? 求解。
解：切向加速度 a??gsina 法向加速度 an?gcosa 因 an? ? v0 ?????anv2? ? ??vv ?angcos?220???g ?at ?v 图1-10
1-13．离水面高为h的岸上有人用绳索拉船靠岸，人以恒定速率v0拉绳子，求当船离岸的距离为s时，船的速度和加速度的大小。
分析：收绳子速度和船速是两个不同的概念。小船速度的方向为水平方向，由沿绳的分量与
垂直绳的分量合成，沿绳方向的收绳的速率恒为v0。可以由v0求出船速v和垂直绳的分量v1。再根据an?v12?关系，以及an与a关系求解a。
解：如图1-13，v2?v0 船速v?v2sec? 当船离岸的距离为s时， v?v0vhs2?h2,v1?v2tan??0 ssv12s?h22则，an?v12???acos??ass?h22 v02h2 即：a?
s3 第二章
2—13．一质量为m的小球最初位于如图2-13所示的A点，然后沿半径为r的光滑圆轨道ADCB下滑，试求小球到达C点时的角速度和对圆轨道的作用力.
分析：如图2—13，对小球做受力分析，合力提供向心力，由牛顿第二定律，机械能守恒定律求解。 解：mgr又：vcos????????r,此时,v??r………②
?2gcos?r 1mv2…………① 2由①、②可得： ?题图2－13
v2N?mgcos??m……③
r由①、③可得，N=3mgcos?
图2－13
2—14．质量为m的摩托车，在恒定的牵引力F的作用下工作，它所受的阻力与其速率的平方成正比，它能达到最大速率是vm? 试计算从静止加速到vm/2所需的时间以及所走过的路程。
F?fm，当a=0时，速度达到最大值vm，
分析：加速度等于零时，速度最大，阻力为变力，积分求时间、路程。 解：设阻力
f?kv2(k?0)，则加速度a?2F?kvmF则有：0?,k?2,从而:mvmf?F2v 2vm又a?F?fdv?，即：mdtF?F2v2vmdv?…………①
mdtFdt?mtdvv2(1?2)vmdvv2(1?2)vmvm/2vm/2F?0mdt??0
?v??1t??vmF???vm?t???ln?v?m?0?2?1???vm??0t?mvmln3，即所求的时间 2FF?对①式两边同乘以dx，可得：
2vmvFdx?2dvmvm?v2F2v2vmdvdx?dx
mdt?x02vm/2vmvFdx??dv20mvm?v2x2mvm/2
?F??v22?x??ln(v?vm)????m2??0??0x?mvmv4ln?0.1442F3F2m2m题图2－15
2-15．如图2-15所示，A为定滑轮，B为动滑轮，3个物体的质量分别为m1=200g，m2=100g，m3=50g.（1）