6．已知：如图，?ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点A，B，C，D，O分别作直线a的垂线，垂足分别为A′，B′，C′，D′，O′；
求证：A′D′＝B′C′.
证明：∵?ABCD的对角线AC，BD交于O点， ∴OA＝OC，OB＝OD.
∵AA′⊥a，OO′⊥a，CC′⊥a， ∴AA′∥OO′∥CC′.∴O′A′＝O′C′. 同理：O′D′＝O′B′.∴A′D′＝B′C′.
[对应学生用书P3]
一、选择题
1．梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别是AD，BC的中点，且EF＝2 cm，则AB＋CD等于( )
A．1 cm C．3 cm
B．2 cm D．4 cm
1
解析：由梯形中位线定理知EF＝(AB＋CD)，
2∴AB＋CD＝4 cm. 答案：D
2．如图，AD是△ABC的高，E为AB的中点，EF⊥BC于F，如1
果DC＝BD，那么FC是BF的( )
3
5
A.倍 33
C.倍 2
4B.倍 32D.倍 3
解析：∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD. 又E为AB的中点，由推论1知F为BD的中点， 即BF＝FD.
12
又DC＝BD，∴DC＝BF.
33
5
∴FC＝FD＋DC＝BF＋DC＝BF.
3答案：A
3．梯形的中位线长为15 cm，一条对角线把中位线分成3∶2两段，那么梯形的两底长分别为( )
A．12 cm 18 cm C．14 cm 16 cm
B．20 cm 10 cm D．6 cm 9 cm
解析：如图，设MP∶PN＝2∶3，则MP＝6 cm，PN＝9 cm. ∵MN为梯形ABCD的中位线，在△BAD中，MP为其中位线， ∴AD＝2MP＝12 cm. 同理可得BC＝2PN＝18 cm. 答案：A
4．梯形的一腰长10 cm，该腰和底边所形成的角为30°，中位线长为12 cm，则此梯形的面积为( )
A．30 cm2 C．50 cm2
B．40 cm2 D．60 cm2
解析：如图，过A作AE⊥BC，在Rt△ABE中，AE＝ABsin 30°＝5 cm.又已知梯形的中位线长为12 cm，
∴AD＋BC＝2×12＝24(cm)． 1
∴梯形的面积S＝(AD＋BC)·AE
21
＝×5×24＝60 (cm2)． 2答案：D 二、填空题
5．如图所示，已知a∥b∥c，直线m、n分别与a、b、c交于点3
A、B、C和A′、B′、C′，如果AB＝BC＝1，A′B′＝，则B′C′
2＝________.
解析：直接利用平行线等分线段定理． 3答案： 2
6.如图，在△ABC中，E是AB的中点，EF∥BD，EG∥AC交BD1
于G，CD＝AD，若EG＝2 cm，则AC＝______；若BD＝10 cm，则
2EF＝________.
解析：由E是AB的中点，EF∥BD，
1
得EG＝AD＝FD＝2 cm，
21
结合CD＝AD，
2
可以得到F、D是AC的三等分点， 则AC＝3EG＝6(cm)．
1
由EF∥BD，得EF＝BD＝5(cm)．
2答案：6 cm 5 cm
7．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E为AB的中点，EF∥BC，G是BC边上任一点，如果S△GEF＝22 cm2，那么梯形ABCD的面积是________cm2.
解析：因为E为AB的中点，EF∥BC， 所以EF为梯形ABCD的中位线， 1
所以EF＝(AD＋BC)，
2
且△EGF的高是梯形ABCD高的一半， 所以S梯形ABCD＝4S△EGF＝4×22 ＝82(cm2)． 答案：82 三、解答题
8．已知△ABC中，D是AB的中点，E是BC的三等分点(BE>CE)，AE、CD交于点F. 求证：F是CD的中点．
证明：如图，过D作DG∥AE交BC于G， 在△ABE中，∵AD＝BD，DG∥AE， ∴BG＝GE.
∵E是BC的三等分点， ∴BG＝GE＝EC.
在△CDG中，∵GE＝CE，DG∥EF， ∴DF＝CF.
即F是CD的中点．
9．如图，先把矩形纸片ABCD对折后展开，并设折痕为MN；再把点B叠在折痕线上，得到Rt△AB1E.沿着EB1线折叠，得到△EAF.求证：△EAF是等边三角形．
证明：因为AD∥MN∥BC，AM＝BM， 所以B1E＝B1F.
又因为∠AB1E＝∠B＝90°，
所以AE＝AF，所以∠B1AE＝∠B1AF. 根据折叠，得∠BAE＝∠B1AE， 所以∠BAE＝∠B1AE＝∠B1AF＝30°， 所以∠EAF＝60°，所以△EAF是等边三角形．
10.已知：梯形ABCD中，AD∥BC，四边形ABDE是平行四边形，AD的延长线交EC于F.
求证：EF＝FC.
证明：法一：如图，连接BE交AF于O， ∵四边形ABDE是平行四边形， ∴BO＝OE. 又∵AF∥BC， ∴EF＝FC.
法二：如图，延长ED交BC于点H， ∵四边形ABDE是平行四边形， ∴AB∥ED，AB∥DH， AB＝ED. 又∵AF∥BC，
∴四边形ABHD是平行四边形． ∴AB＝DH. ∴ED＝DH. ∴EF＝FC.
法三：如图，延长EA交CB的延长线于M， ∵四边形ABDE是平行四边形， ∴BD∥EA，AE＝BD. 又AD∥BC.
∴四边形AMBD是平行四边形． ∴AM＝BD.
