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（2）结合以上三组点的坐标，你会发现：坐标内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平的对称点P′的坐标为 ； 运用与拓广：
（3）已知两点D（1，－3）、E（－1，－4），直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的之和最小，并求出Q点坐标．
18、几何模型：
平面分线l
试在距离
条件：如图，A、B是直线L同旁的两个定点．问题：在直线L上确定一点P，使PA+PB的值最小．
?的值最小（不必方法：作点A关于直线l的对称点A?，连结A?B交l于点P，则PA?PB?AB证明）． 模型应用：
（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连结ED交AC于P，则PB?PE的最小值是___________；
（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA?OB，?AOC?60°，P是OB上一动点，求PA?PC的最小值；
（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．
B
B B A
R A P E C
l
A B O C 图2
P P B O Q A
图1
图3 A?D 19、问题探究
（1）如图①，四边形ABCD是正方形， AB?10cm，E为边BC的中点，P为BD上的一个动点，求PC?PE的最小值；
（2）如图②，若四边形ABCD是菱形， AB?10cm，?ABC?45°，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC?PE的最小值；
问题解决（3）如图③，若四边形ABCD是矩形， AB?10cm，BC?20cm，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC?PE的最小值；
A P D
A A D
D B B
E
C
C B
C 优秀教案 欢迎下载
20.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），连结0A，将线段OA绕原点O顺时针旋转120。，得到线段OB. （1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果均保留根号） 解：（1）过点B作BD⊥x轴于点D，由已知可得：OB=OA=2，∠BOD=60。.在Rt△OBD中，∠ODB=90。，OBD=30。. ∴OD=1，DB=3
∴点B的坐标是（1，3）.
（2）设所求抛物线的解析式为y?ax2?bx?c，由已知可得：
??c?0?a?b?c?3?4a?2b?c?0 ?解得：a?33,b?233,c?0. ∴所求抛物线解析式为y?33x2?233x. （3）存在. 由y?3223333x?3x配方后得：y?3?x?1?2?3 ∴抛物线的对称轴为x=－1. （也写用顶点坐标公式求出）
∵OB=2，要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小. ∵点O与点A关于直线x=－1对称，有CO=CA.
∠
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△ BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA.
∴当A、C、B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，BC+CA最小，此时△BOC的周长最小.
??k?b?3设直线AB的解析式为y?kx?b,则有:?
???2k?b?0解得：k?323323,b?. ∴直线AB的解析式为y?x?. 333333. ∴所求点C的坐标为（－1，）. 33当x=－1时， y??43?1，?21、如图，抛物线y?ax2?bx?c的顶点P的坐标为?，交x轴于A、B两点，交y???3???3)． 轴于点C(0，y D （1）求抛物线的表达式．
（2）把△ABC绕AB的中点E旋转180°，得到四边形ADBC． A O 判断四边形ADBC的形状，并说明理由．
（3）试问在线段AC上是否存在一点F，使得△FBD的周长最小， C 若存在，请写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）由题意知
E B x P
解得a?323，b?? -------------3分 33（列出方程组给1分，解出给2分） ∴抛物线的解析式为y?3223x?x?3 -----------4分 333223x?x?3?0， 33（2）设点A（x1，0），B（x2，0），则
解得x1??1，x2?3 -------------5分
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∴∣OA∣＝1，∣OB∣＝3．又∵tan∠OCB＝
|OB|?3 |OC|∴∠OCB＝60°，同理可求∠OCA＝30°．∴∠ACB＝90° ----------6分 由旋转性质可知AC＝BD，BC＝AD ∴四边形ADBC是平行四边形 ----------------------------7分 又∵∠ACB＝90°．∴四边形ADBC是矩形 --------------------------8分 （3）延长BC至N，使CN?CB．假设存在一点F，使△FBD的周长最小．
即FD?FB?DB最小．
∵DB固定长．∴只要FD+FB最小．又∵CA⊥BN ∴FD+FB＝FD+FN． ∴当N、F、D在一条直线上时，FD+FB最小 ．---------------------10分
1又∵C为BN的中点， ∴FC?AC（即F为AC的中点）．
231又∵A（－1，0），C（0，－3） ∴ 点F的坐标为F（?，?）
2231∴ 存在这样的点F（?，?），使得△FBD的周长最小．---12分
2222. 已知：直线y?11与x轴交于D，抛物线y?x2?bx?c与直线交于A、x?1与y轴交于A，
22E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为 （1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形且以P为直角顶点时，求点P的坐标． （3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM?MC|的值最大，求出点M的坐标．
D A O B C x y E 答案：
（1）将A（0，1）、B（1，0）坐标代入y?12x?bx?c得 2
