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五、（15分）设l是过原点、方向为(?,?,?)，（其中??????1)的直线，均匀椭球
222x2y2z2???1，其中（0?c?b?a,密度为1）绕l旋转。 a2b2c2（1）求其转动惯量；
（2）求其转动惯量关于方向(?,?,?)的最大值和最小值。
六、(15分)设函数?(x)具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲线积分
2xydx??(x)dy的值为常数。 42??x?yc22（1）设L为正向闭曲线(x?2)?y?1,证明（2）求函数?(x)；
2xydx??(x)dy?0; 42??x?yc（3）设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求
2xydx??(x)dy。 42??x?yc文案大全
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2011年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一． 计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分）
（1）.求lim??sinx??x?0x??11?cosx；
11??1（2）.求lim?； ??...??n??n?1n?2n?n??2t?x?ln1?e??d2y?（3）已知?，求。 2tdx??y?t?arctane二．（本题10分）求方程
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?2x?y?4?dx??x?y?1?dy?0的通解。
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三．（本题15分）设函数f(x)在x=0的某邻域具有二阶连续导数，且
f?0?,f'?0?,f\?0?均不为
0，证明：存在唯一一组实数k1,k2,k3，使得
limh?0k1f?h??k2f?2h??k3f?3h??f?0?h2?0。
四．（本题17分）设
x2y2z2?1:2?2?2?1，其中a?b?c?0abc，
?2:z2?x2?y2，?为?1与?2的交线，求椭球面?1在?上各点的切平面到原点
距离的最大值和最小值。
?x2?3y2?1五．（本题16分）已知S是空间曲线?绕y轴旋转形成的椭球面的上半部
?z?0分（z?0）取上侧，?是S在P?x,y,z?点处的切平面，??x,y,z?是原点到切
平面?的距离，?,?,?表示S的正法向的方向余弦。计算：
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z（1）（2）z??x?3?y??z?dS dS；
??????x,y,z?SS
六．（本题12分）设f(x)是在
0?m?1，任取实数
???,???的可微函数，且f、?x??mf?x?，其中a0，定义an?lnf?an?1?,n?1,2,...,证明：
??an?1?n?an?1?绝对收敛。
七．（本题15分）是否存在区间
满足f?0??f?2??1， ?0,2?上的连续可微函数f(x)，
f、?x??1,?0f?x?dx?1？请说明理由。
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