图1
12．(15分)如图1，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.
(1)求四棱锥P－ABCD的体积；
(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值． 解：(1)∵四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB＝60°， 1
∴OA＝OC＝3，BO＝OD＝1，S菱形ABCD＝×2×23＝23.
2在Rt△POB中，∠PBO＝60°， ∴PO＝OB·tan60°＝tan60°·1＝3.
11∴VP－ABCD＝S菱形ABCD·PO＝×23×3＝2.
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图2
(2)如图2，以O为原点，OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，C(0，3，0)，
D(－1,0,0)，A(0，－3，0)，P(0,0，3)．
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于是E(，0，)，
2233→∴DE＝(，0，)， 22→＝(0，－3，－3)． PA
33→→→→|＝6. ∴DE·PA＝－×3＝－，|DE|＝3，|PA
223
－→·→2DEPA2→→∴cos〈DE，PA〉＝＝＝－.
4→||PA→|3×6|DE2
∴异面直线DE与PA所成角的余弦值为.
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